离散数学第2版作者王元元离散第2讲课件.ppt

第2讲 集合的运算与归纳定义 集合运算与归纳定义 Page 7 to 13 内容提要 集合的运算 广义并、广义交运算 序偶和n元有序组 笛卡尔积 集合的归纳定义 集合的归纳定义方法 集合定义的自然数 集合族的概念 定义1：称每个元素都是集合的集合为集合族（collection）。 若集合族C可表示为C = { Sd | d?D }，则称D为集合族C的标志集（index set）。 C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} C = {Nd | d?I+} 集合的广义并和广义交 定义2：设C为非空集合族 （1）∪C = {x | 存在某个S，满足S?C并且x?S} ∪C称为C的广义并 (C中所有集合的并) （2）∩C = {x | 对任意的S，如果S?C则一定有x?S} ∩C称为C的广义交(C中所有集合的交) 例如 C = {{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, …} ∪C = N, ∩C = {0} C = {Nd | d?I+}， ∪C = , ∩C = 广义并、交运算实例 ∪{A, B} = ∩{A, B} = ∪{A, B, C} = ∩{A, B, C} = ∪{?} = ∩{?} = ∪{?, {?}} = ∩{?, {?}} = ∪{?, A} = ∩{?, A} = 广义并、交运算的性质 定理3：对任意集合A，∪ρ(A) = A 证明： 对任意x， x ?∪ρ(A) ? 存在S 满足S?ρ(A)并且x?S ?存在S 满足S?A并且x?S ? x ?A 所以，∪ρ(A) = A 序偶(ordered pairs) 如何在集合的基础上定义出次序的概念？ 定义3：设a, b为任意对象，称集合{{a}, {a, b}}为二元有序组，或序偶，简记作a,b。其中a称为序偶a,b的第一分量，b称为序偶的a,b第二分量。 定理4：对任意序偶a,b, c, d， a,b=c, d当且仅当a=c且b=d。 n元有序组 定义4： n元有序组a1, a2, …, an可以从二元有序组（序偶）出发，递归地定义如下 a1, a2 = {{a1}, {a1, a2}} a1, a2 , a3 = a1, a2, a3 … a1, a2, …, an = a1, a2, …, an–1, an 其中ai称为n元有序组的第i分量 本质上，n元有序组依然是序偶 定理5：对任意对象a1, a2, …, an，b1, b2, …, bn， a1, a2, …, an = b1, b2, …, bn 当且仅当a1=b1，a2=b2，…，an=bn 集合的笛卡尔积 定义5：对任意集合A1, A2，A1?A2叫做A1, A2的笛卡尔积，定义如下： A1 ? A2 = {x, y | x? A1，y? A2} 说明 ?运算是左结合的 A1?A2?…?An = (A1?A2?…?An–1) ? An 当A1=A2=…=An=A时，A1?A2?…? An记作An A1?A2?…?An = { a1, a2, …, an | a1 ? A1，…, an ? An} 笛卡尔积运算举例 A={1, 2}, B={a, b, c}, C={?}, R为实数集 A×B，B×A A×B×C， A×(B×C) A×?， ?×A R2， R3 笛卡儿积的性质 定理6：设A、B、C为任意集合，?表示∪，∩或－运算，那么： A ? (B ? C) = (A ? B) ? (A ? C) (B ? C) ? A = (B ? A) ? (C ? A) 定理7：对任意有限集合A1, A2, …, An，有：|A1?A2?…? An| = |A1|·|A2|·…·|An| 集合的表示方法 列举法 描述法 试定义算术表达式的集合S S = {123, 55, 1+2, －100， (99×3)／10, …} ? S = {x | x是一算术表达式} ? (1) 如果x是整数，则x?S (2) 如果x, y ?S ，则(+ x) 、(– x) 、(x + y) 、(x – y) 、(x ? y) 、(x／y) 均?S (3)只有有限次应用条款1、2所得的符号序列?S 以上第三种定义方法称为归纳法 集合的归纳定义(inductive