离散数学第2版作者王元元离散第5讲容斥原理与排列组合课件.ppt

第5讲 计数基本原理与排列组合 鸽笼原理 N+1只鸽子飞进N只笼子，至少有2只鸽子飞进同一笼子 N个对象放入k个盒子，有一个盒子至少放入 个对象 计数问题 重新排列单词SUCCESS中的字母能得到多少不同的字符串？ 排列、组合 组合数学 研究给定模式下可能的配置、配置的存在性、配置的数目、配置的性质等 鸽笼原理讨论可能配置的存在性，计数则解决配置数目的计算问题，广泛应用于事件概率的计算以及计算机算法的复杂性研究 计数基本原理与排列组合 Page 82 to 87 内容提要 6.1 计数基本原理 加法原理、乘法原理 包含排斥原理（容斥原理） 6.2 排列与组合 线排列、圆排列、组合 在回顾中学知识的基础上适度提高 加法原理与乘法原理 加法原理 若有限集合S=S1∪S2∪ … ∪Sn，且S1, S2 , …, Sn两两不相交，那么|S| = |S1| + |S2| + … + |Sn| 分类计数：完成一件事有n类办法，在第1类办法中有a1 种 不同的方式，…，在第n类办法中有an 种不同的方式，那么完成这件事共有a1 + … + an 种不同的方式 乘法原理 对有限集合S1, S2 , …, Sn，|S1×S2× …×Sn| = |S1|×|S2| × …×|Sn| 分步计数：完成一个任务需要分成ｎ个步骤，做第1步有 a1 种不同的方式，…，做第ｎ步有an 种不同的方式，那么 完成整个任务共有a1×a2× … ×an种方式 应用 例1 一家服装厂用4种式样，5种颜色，8种尺寸生产男式服装；用6种式样，5种颜色，6种尺寸生产女式服装，问这家服装厂共计生产男女服装多少种？ 解：男式服装种类：4×5×8 = 160（种） 女式服装种类：6×5×6 = 180 （种） 共计：160 + 180 = 340 （种） 应用 例2 从上海直达天津可以乘坐汽车、火车和飞机旅行，已知汽车有3个班次，火车有4个班次，飞机有2个班次。从天津直达大连可以乘坐轮船和飞机旅行，已知轮船有2个班次，飞机有3个班次。问从上海经天津到大连有多少种旅行安排？ 解：从上海到天津有 3+4+2 = 9 种旅行安排 从天津到大连有 2+3 = 5 种旅行安排 从上海经天津到大连共有 9×5 = 45 种旅行安排 加法原理与乘法原理注意点 都是把一个事件分解成若干个分事件来完成 加法原理（分类计数原理） 如果分事件相互独立，分类完备，就用分类计数原理 注意：分类时要做到不重不漏 乘法原理（分步计数原理） 如果分事件相互关联，缺一 不可，就用分步计数原理 注意：分步时做到不缺 经常结合使用 相交集合的计数 加法原理中，S1, S2 , …, Sn两两不相交，|S| = |S1| + |S2| + … + |Sn| 若取消两两不相交的限制，该如何计算？ 考虑两个集合的情况 相交集合的计数 加法原理中，S1, S2 , …, Sn两两不相交，|S| = |S1| + |S2| + … + |Sn| 若取消两两不相交的限制，该如何计算？ 考虑两个集合的情况 相交集合的计数 加法原理中，S1, S2 , …, Sn两两不相交，|S| = |S1| + |S2| + … + |Sn| 若取消两两不相交的限制，该如何计算？ 考虑两个集合的情况 三个相交集合的计数 三个集合的情况 三个相交集合的计数 三个集合的情况 三个相交集合的计数 三个集合的情况 三个相交集合的计数 三个集合的情况 n个相交集合的计数 定理6.2 考虑集合S1, S2 , …, Sn, S = S1∪S2∪…∪Sn ，那么 |S| = | S1∪S2∪…∪Sn | 验证： n=1 n=2 n=3 定理6.2的证明 用数学归纳法证明 | S1∪S2∪…∪Sn | 对n进行归纳 基础步：n=1、2时，根据上面的验证，等式成立； 归纳步：假设n=k (k≥1)时等式成立，则n=k+1时 …… …… 等式依然成立 综上，对任意自然数n ≥1，均有等式成立 另一种证明思路 从集合| S1∪S2∪…∪Sn |中每个元素被计数的次数来考虑 设元素a? S1∪S2∪…∪Sn ，它恰在Sa1, Sa2, …, Sar中出现(1≤a1a2…ar≤n) 则元素a被 因为 所以 元素a恰被计数1次 应用 试计算在集合{1，2，3，…，1000}中有多少元素至少能被5，6，8这三个数中的一个整除 用A、B、C分别表示1000以内能被5、6、8整除的正整数集合，题意为求| A∪B∪C