初等数学教学课件作者黄炜§7-4向量的数量积课件.pptVIP

特别 于是 （7-8） 由式（7-7）及式（7-8）可得： 即 （7-9） 式（7-9）称为两非零向量，夹角余弦的坐标表示式. 设向量 ，若 ，有 ，则. 故 即：两个向量垂直的充要条件是它们对应分量坐标乘积之和等于0. 巩固知识 例2设 ， ，求 解： = 5×(?6) + (?7)×(?4) = ?30 + 28 = ?2 例3已知 ， ，则 a 与 b 的夹角是多少? 解：由于 ， ， 有 ， ，记与的夹角为θ， 则 又因为 ， 所以θ＝ . 三、两点间距离公式 设向量 起点，终点坐标分别为 ， 则 从而 上式称为平面内两点间的距离公式； 从图7-19也容易得到验证。 例5 求平面上两点 ， 之间 的距离. 解 * §7.4 平面向量的数量积及运算律 问题 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念. θ 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s，那么力F 所做的功应当怎样计算？ 一、向量的数量积概念 平面向量的数量积的定义 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 （2） a · b不能写成 a×b ，a×b 表示向量的另一种运算． 已知两个非零向量 和 ，它们的夹角为? ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积），记作 ， 即 向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ a·b=|a| |b| cosθ 当0°≤θ ＜ 90°时a·b为正； 当90°＜θ ≤180°时a·b为负。 当θ =90°时a·b为零。 设 是非零向量， 方向相同的 单位向量， 的夹角，则 特别地 O A B θ a b B1 解：a·b=|a| |b|cosθ=5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10。 例1 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 例2 已知a=(1,1),b=(2,0),求a·b。 解： |a| =√2, |b|=2, θ=45 ° ∴ a·b=|a| |b|cosθ= √2×2×cos45 ° = 2 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 例题讲解 例2.已知正三角形ABC的边长为1，求（1） （2） （3） A C B 向量的数量积的几何意义 （1）投影的概念 如图所示： B 过B作 垂直OA，垂足 为 , 则 ， 在 方向上的投影 叫做向量 O A 叫做向量 在 方向上的投影 B O A a b 投影是向量 还是数量？ θ为钝角时， | b | cosθ＜0 O A B a b θ为锐角时， | b | cosθ＞0 O A B a b θ为直角时，