初等数学教学课件作者黄炜§13-4　二项式定理课件.ppt

探究 二项式系数的性质 二项式系数的性质 （3）各二项式系数的和 （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 二项式系数逐渐增大,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,中间项的取值最大. 先增后减 n是偶数时，中间的一项（第 项）的二项式系数 取得最大值 ； 当n是奇数时，中间的两项（第 项）的二项式 系数 和 相等，且同时取 得最大值。 （2）增减性与最大值 二项式系数的性质 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 n=1,C10+C11=2 n=2,C20+C21+C22=4 n=3,C30+C31+C32+C33=8 … n=6,C60+C61+C62+ +C66=64 … Cn0+Cn1+Cn2+ … … Cnr+ +Cnn= 猜想： 2n ？ (a+b)1 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)2 (a+b)6 (a+b)n Cn0 Cn1 Cn2 Cnr Cnn … … 1 6 15 20 15 6 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 知识探究3 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 同时由于 ，上式还可以写成： 这是组合总数公式． 二项式系数的性质 赋值法 例2、已知 的展开式中只有第10项系数 最大，求第五项。 依题意， 为偶数，且 解： 例3.已知(1+a)n展开式里，连续三项的系数比是 3：8：14，求展开式里系数最大的项。 答案：m=3,n=10;最大项为T6=252a5 例4：由 展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有多少项？ 分析：考虑 的展开式的通项 要使 x 系数为有理数，则 r 为 6 的倍数，令 r = 6k（k∈Z），而且 0≤6k≤100，即 r = 0，6，12，…，96。因此共有17项。 * 尝试二项式定理的发现: (a+b)2＝ (a+b) (a+b) = 展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2 对(a+b)2展开式的分析 这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22 恰有0个取b的情况有 C20种，则a2前的系数为C20 考虑b (a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2 a2 +ab +ba +b2 尝试二项式定理的发现: 考虑b 尝试二项式定理的发现: 探求得: 用 表示，即通项为展开式的第 项。 右边的多项式叫做 的展开式，其中的系数 叫做二项式系数。 式中的 叫做二项式通项， 二项式定理 通项公式 定理 剖 析 1.二项式系数规律： 2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.若a=2, b=x : 则称某一项除X外的代数式为项的系数如：第二项的系数为： ，二项式系数为： 解：不妨设 ，再展开． 你会化简下面的代数式吗？ 通过观察可以看出上面的代数式很象二项展开式，通过逆向思维可以看出：它是 的二项展开式 即原式= 解： 问题1 问题2 退出 分析：由 知，原式可变形为 再展开，比直接展开简便。 解： 退出 分析：若把 表示为 运用二项式定理，就可得到所求的表达式。 解： 退出 问题3 退出 分析：第 k+1 项的二项式系数 ----------