化学类新教案第4章导数与微分课件.ppt

第四章 导数与微分 4.1 导数的几个引例 4.2 导数的概念 4.3 导数的运算法则 4.4 微分 【开篇案例】 【学习目标】 4.1 导数的几个引例 4.2 导数的概念--变量变化快慢程度的数学模型 4.3 导数的运算法则 4.4 微 分 例15．设气体以100 的常速注入球 状的气球，假定气体的压力不变，那么，当半 径为10 cm时，气球半径增加的速率是多少？ 4.3 导数的运算法则 解：设在时刻t时，气球的体积与半径分别 为V和r。显然 ，且 所以V 通过中间变量r与时间t发生联系，是 一个复合函数 4.3 导数的运算法则 已知 ，要求当r=10cm时 的值 根据复合函数求导法则，得 将已知数据代入上式，得 所以 ，即在 r=10cm这一瞬间，半径以 的速率增加。 4.3 导数的运算法则 例16．若水以的 速度灌入高为r=10m， 底面半径为5m的圆锥型水槽中（如图），问当 水深为6m时，水位上升的速度为多少？ 4.3 导数的运算法则 解：设在时间为t时，水槽中水的体积为V(t)， 水面的半径为x(t)，水槽中水的深度为y(t)。 依题意有 且有 ，即 故有 将上式对时间t求导得 4.3 导数的运算法则 即 将 及y=6cm代入上式 所以，当水深为6m时，水位上升速度约为0.071m/s 4.3 导数的运算法则 一般地，如果函数y=f(x)的导数 仍是x的函数，且其导函数 还可以对x求导 数，则称 的导数为函数y=f(x)的二阶导数， 记作 或 或 或 5. 高阶导数 4.3 导数的运算法则 把二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。 求一个函数的高阶导数，只要对函数一次 次求导即可。 4.3 导数的运算法则 解： 例17．设 ，求 4.3 导数的运算法则 一般地，对次多项式 （n为正整数） 4.3 导数的运算法则 习题：求下列函数的n阶导数 （1） （2） 4.3 导数的运算法则 6. 隐函数的求导法则 方法一: 是将隐函数化为显函数，再按显函 数的求导法则求其导数。 例19．方程 ，确定变量y是变量x的 函数，求 4.3 导数的运算法则 将隐函数化为显函数 ，再对x求导 4.3 导数的运算法则 方法二: 将确定隐函数关系的方程F(x,y)=0 两边对自变量x求导，但在进行求导运算时，必 须记住y是的x函数。 4.3 导数的运算法则 将方程 两边对自变量x求导得 4.3 导数的运算法则 7.幂指函数的求导与对数求导法 （1） 指数恒等变形法： 先将幂指函数 化为： 再按复合函数求导法则求导即可。 4.3 导数的运算法则 （2） 两边取对数求导法 这种方法是通过将幂指函数 两边取对数转化为 再按隐函数求导法则求导即可，并记住y是 x的函数，且 4.3 导数的运算法则 例22．求 的导数 解法一：化幂指函数为指数函数 ， 由复合函数求导法则有 解法二：两边取以e为底的自然对数，得 ln y=x ln x，两边对x求导 4.3 导数的运算法则 8.由参数方程所确定的函数求导法 变量x，y之间的关系通过t发生联系，消去t 即得x与y之间的确定的显性函数关系y=f(x)，这 种通过第三个变量（t）表示函数关系的方程叫 参数方程。 4.3 导数的运算法则 如果函数 都可导，且 ，则 4.3 导数的运算法则 例25．设由参数方程 确定y是x的函数，求 ， 4.3 导数的运算法则 1.微分的定义 函数的导数表示该函数的变化率，它 是描述函数变化性态的一个局部性概念。 第四章 导数与微分 案例4.2 铁路钢轨空隙如何预留？ 设有一块边长为x的正方形金属薄片，其长 度随气温的变化而变化，热胀冷缩，它的面积 是x的函数，当气温变化时，其边长x由变 到x+△x ，问此时薄片的面积改变了多少？ 4.4 微 分 解：由图可知 略去高阶的无穷小 即 因为 所以有 4.4 微 分 定理4.5 （1）若函数y=f(x)在点x处可导，则对于自 变量在x处的改变量△x，其相应的因变量的改 变量△y定能写成 其中o(△x)是△x的高阶无穷小。 4.4