化学类新教案第7章定积分课件.ppt

第七章 定积分 7.1 定积分的概念及其性质 7.2 微积分基本公式 7.3 定积分的计算 7.4 定积分的应用 7.5 反常积分 【开篇案例】 【学习目标】 7.1 定积分的概念及其性质 7.2 微积分基本公式 7.3 定积分的计算 7.4 定积分的应用 7.5 反常积分 2. 定积分的分部积分法 设函数u=u(x)，v=v(x)在[a，b]上有连续 导数，则有定积分的分部积分公式： 7.3 定积分的计算 例13 计算 7.3 定积分的计算 例14 计算 7.3 定积分的计算 证明积分公式 7.3 定积分的计算 1. 定积分的几何应用 （1）平面图形的面积 第七章 定积分 （1）平面图形的面积 7.4 定积分的应用 例16 求两条抛物线 与 所围成 的平面图形的面积。 7.4 定积分的应用 解：两条抛物线所围成的平面图形如图所示。 解方程组 ，两抛物线交点为(0,0)和(1,1) 所求图形面积为定积分 面积微元为 7.4 定积分的应用 习题1 求抛物线 与直线y=x， y=2x所围图 形的面积。 7.4 定积分的应用 习题2 求抛物线 与直线y=x-4所围成平面 图形的面积。 7.4 定积分的应用 习题3 求椭圆 的面积。 7.4 定积分的应用 （2）旋转体的体积 7.4 定积分的应用 例 20 求由椭圆 绕轴旋转一周而成 的旋转体（称为旋转椭球体）的体积。 7.4 定积分的应用 解：旋转椭球体（如图所示）可看作是由上半 个椭圆 及x轴所围成的平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体。 体积微元为 椭球体的体积为 7.4 定积分的应用 习题4 求由抛物线 及直线x=2与x轴所 围成的平面图形分别绕x轴和绕y轴旋转一 周所得立体的体积。 7.4 定积分的应用 （3）平行截面面积为已知的立体的体积 7.4 定积分的应用 例22 一平面经过半径为R的圆柱体的底面 半径，且与底面交成定角 。求此平面截圆柱所 得立体（楔形体）的体积。 7.4 定积分的应用 解：取底面直径所在直线为x轴，底面上过圆心 且垂直于x轴的直线为y轴。则底圆方程为 。立体中过点x且垂直于 x 轴的截面 是直角三角形，其面积为 于是，楔形体体积为 7.4 定积分的应用 2. 定积分的物理应用 （1）功 恒力的功 变力作功的微元 变力所作的功 7.4 定积分的应用 例 23 半径为1米的半球形水池，池中充满 了水，把池内的水全部抽出需作多少功？ 7.4 定积分的应用 将这小水柱体提到池口的距离为x ，故功微元为 得所求功为 解：建立坐标系，圆的方程为 。选水 深x为积分变量。在[0，1]上任意小区间[x，dx] 上相应小薄圆柱体的水重近似为 7.4 定积分的应用 （2）水压力 7.4 定积分的应用 例24 设某水库的放水闸门为一梯形（如图 所示，图中所示闸门尺寸以米为单位）。求水 库水齐闸门顶时闸门所受的水压力。 7.4 定积分的应用 解：由于闸门关于x轴对称，只要计算一半 闸门的水压力，然后再二倍就得闸门所受总的 水压力。 取水深x为积分变量。积分区间为[0，10]， 直线方程为 ，水的密度 。因 此，闸门所受的总的水压力为 7.4 定积分的应用 （3）经济应用问题举例 例25 某工厂生产某产品x件时，固定成本为 15元，边际成本为 （元/件），试 求出总成本函数 及平均成本函数 。 7.4 定积分的应用 解：总成本为固定成本与变动成本之和，即 平均成本为总成本与产量之比，即 7.4 定积分的应用 * * 案例7.1 城市交通流下黄灯闪烁时间应怎样设置 怎样设置交通指挥灯 中各种颜色信号灯闪烁时 间的长短，特别是黄灯闪 烁的时间才合理？ 第七章 定积分 第七章 定积分 1.理解定积分概念，掌握定积分的性质。 2. 原函数存在定理，变上限的定积分。 3. 牛顿—莱布尼兹公式。 4. 换元积分法和分部积分法。 5. 无穷积分。 6. 定积分的应用。 1.问题的提出 （1）曲边梯形的面积 第七章 定积分 （2）变速直线运动的路程 设物体作直线运动，速度v=v(t)是时间t的 内所经过的路程. 连续函数，且 。求物体在时间间隔[T1,T2] 3）求和 4）取极限 2）局部近似