chap4微分几何2014office2003课件.ppt

其中 q 是曲线 C 与 u -曲线的夹角． 定理. 当取正交坐标网时，曲面曲线 C 的测地曲率为 u -曲线与 v -曲线的测地曲率分别为 4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-测地曲率的刘维尔公式 返回章首 练习题 1．求位于半径为 R 的球面上半径为 a 的圆周的测地曲率． 2．求位于正螺面 x = ucosv, y = usinv, z = av 上的圆柱螺线 x = u0cosv, y = u0sinv, z = av的测地曲率． 返回章首 4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-测地线 曲面上的一条曲线，如果它的每一点处的测地曲率为零，则称之为测地线． 由测地曲率的定义知曲面上如果存在直线（如直纹面），则此直线一定是测地线（因为直线的曲率向量是零向量）． 曲面上的曲线是测地线的充分必要条件是曲线的曲率向量平行于曲面的法向量． 球面上的大圆(过球面中心的平面与球面的交线)一定是测地线，这是因为大圆的主法线重合于球面的法线． 返回章首 定理. 对任意一点 P∈S 和任意一个单位切向量 v∈TPS，存在正数 e 和唯一一条测地线 gv(s)，s∈(–e, e)，满足 gv(0) = P, gv (0) = v， 并且 gv(s) 光滑地依赖于 s、P、v，而且 s 是 gv 的弧长参数． 由常微分方程理论得： 测地线的方程为 4.2 测地曲率、测地挠率和测地线-测地线方程 返回章首 练习题 1．求平面上的测地线． 2．求圆柱面 r = (Rcosq, Rsinq, z) 上的测地线． 返回章首 4.3曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式 内容：半测地坐标网、测地线的短程性、高斯－波涅公式 重点：高斯－波涅公式的应用 返回章首 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯－波涅公式-测地平行坐标系 对曲面 S 上任一点 P，设 g 是曲面上过 P 点的一条测地线，v 是 g 的自然参数 (|v|d)．沿 g 作一个单位向量场 e(v) 垂直于 g ‘(v)，然后过 g 上每一点 g (v) 作一条测地线 av: (– e, e)→S，使得 av(0) = g (v)， av’(0) = e(v)． av 的自然参数用 u 表示．这样，(u, v) 就构成了曲面在 P 点附近的一个坐标系，这样的坐标系称为测地平行坐标系，相应的坐标曲线网叫半测地坐标网。（如图） g av e(v) P g (v) 返回章首 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-在测地平行坐标系下的第一基本形式 定理. 在半测地坐标网下，曲面的第一基本形式为 I = du2 + Gdv2, G(0,v) = 1, Gu(0,v) = 0. 返回章首 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-测地线的局部极小性 定理. (测地线的局部极小性) 设 Q、R 是曲面上点 P 的一个充分小邻域内的两点，则在连接 Q、R 的诸线段中，测地线段的弧长最短． R Q 返回章首 如果区域 G 是一整块，里面没有洞，也没有缝隙，则称区域 G 是单连通的． 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯－波涅公式-单连通区域 单连通区域 不是单连通区域 返回章首 其中 ai 是 ?G 的第 i 个内角的角度，p – ai 是第 i 个外角的角度． 定理. 如果 G 是单连通的，则有高斯-波涅公式： 曲面 S 上的区域 G 的边界记为 ?G，高斯曲率记为 K，?G 的测地曲率记为 kg，曲面的面积元素和弧长元素分别记为 ds 和 ds． 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-高斯波涅公式 返回章首 S G ?G ai a2 a1 ?G ?G 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-高斯波涅公式 返回章首 其中 S(D) = a1 + a2 + a3 表示 D 的三内角之和． 如果 ?G 是一个测地三角形 D，即三条测地线所围成的三角形，则有 如果 ?G 是由测地线段组成，则有 如果 ?G 是一条光滑曲线，则有 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-高斯波涅公式的特例 返回章首 练习题 2．计算测地曲率在一般参数下的计算公式． 证明：如果曲面 S: r = r(u,v) 的第一基本形式为 I = du2 + Gdv2，则曲面上的曲线 C 的测地曲率满足 返回章首 4.3 曲面上的半测地坐标网、高斯波涅公式-曲面的基本定理 定理. 设 I = gijduiduj, II = hijduiduj,（gij = gji, hij = hji）是给定的两个二次形式，其中第一个正定．如果 gij 和 hij 满足高斯方程和科达齐方程，则除了空间中的位置差别外，存在唯一一张曲面，以 I 作为第一基本形式，以 II 作为第二基本形式． 返回章首 第四章补充练习题