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计算机学院 / GDUT 第7章 曲线与曲面 概述 7.1 曲线曲面基础 7.2 三次样条曲线与曲面 7.3 Bézier曲线和曲面 7.4 B样条曲线和曲面 7.5 NURBS曲线和曲面 7.6 OpenGL生成曲线和曲面 2. Bernstein基函数的性质 （6）递推性 （7）导函数 （8）最大值：Bi,n(t) 在 t=i/n 处取最大值 (9)升阶公式 示例：三次Bezier曲线 3. Bezier曲线的性质 (2) 对称性 (3)凸包性 (4)几何不变性 (5)变差缩减性 若Bezier曲线C(t)的特征多边形是平面图形，则该平面内任意直线与C(t)的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数。 (6) 仿射不变性 抛物线的三切线定理 de Casteljau算法 6. Bezier曲线的拼接 连续条件 * * Bézier曲线是法国雷诺汽车公司的工程师Bézier于1962年提出。1972年在UNISURF系统中正式投入使用。Bézier曲线采用一组特殊的基函数，使得基函数的系数具有明确的几何意义。其曲线方程： 0≤t≤1 其中从a0到an首尾相连的折线称为Bézier控制多边形。 i=0,1,…,n a0 a1 a2 a3 ai为相对位置矢量 1. Bezier曲线的定义和性质 f0(t) f1(t) f2(t) f3(t) 1 1 0 当n=3时: 英国的Forest于1972年将上述Bézier曲线中的控制多边形顶点改为绝对位置矢量的Bernstein基表示形式： 0≤t≤1 (i=0,1,…, n) d0 d1 d2 d3 di为绝对位置矢量 n=0, B0,0(t) = 1 n=1, B0,1(t) = 1-t B1,1(t) = t n=2, B0,2(t) = (1-t)^2 B1,2(t) = 2t(1-t) B2,2(t) = t^2 当n=3时: B0,3(t) B2,3(t) B1,3(t) B3,3(t) 三次Bézier曲线的矩阵表示形式为： P（t）＝ [ B0,3(t) B1,3(t) B2,3(t) B3,3(t) ] [ P0 P1 P2 P3 ]T （1）正性 （2）端点性质 （3）权性 （4）对称性 Bi,n(t)=Bn-i,n(1-t) （5）积分 P0 P3 P2 P1 P0 P0 P3 P1 P2 a) 曲线端点位置矢量 P(0)=P0 ；P(1)=Pn。Bezier曲线的起点、终点与特征多边形的起点、终点重合。 b) 切矢量 P’(0)=n(P1-P0)，P’(1)=n(Pn-Pn-1). Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。 (1) 端点性质 由控制顶点 构造出的新Bezier曲线，与原Bezier曲线形状相同，走向相反。 Bezier曲线P(t)在 中各点是控制点Pi的凸线性组合，即曲线落在Pi构成的凸包之中 Bezier曲线位置与形状与其特征多边形顶点 的位置有关，不依赖坐标系的选择。 仿射变换A： 即在仿射变换下，P(t)的形式不变。 单一Bézier曲线不能满足描述复杂形状的要求，必须采用组合Bézier曲线。 d0 d1 d2 d3 组合Bézier曲线示意图 4. Bézier曲线的特点 参数连续是对曲线光顺性的过分要求，在组合曲线的连接点处，参数连续不仅要求切矢具有共同的切矢方向，而且要求切矢模长相等。 几何连续只要求在连接点处切矢方向相同，切矢模长可以不相等，由此产生了不同控制手段的多种曲线，如Gamma(?)样条曲线、Beta(?)样条曲线等，给曲线设计提供了极大的灵活性。 若要组合Bézier曲线在连接点处具有一定的连续性，构成曲线的位置点矢量之间存在约束条件，可用Bézier曲线方程的一阶、二阶导数推导。 Bézier曲线的优点是具有明确的几何意义，给定数据点的控制多边形确定曲线的形状，在设计过程中具有很强的可操作性。但是，Bezier曲线是整体计算，修改某个控制顶点会影响整条曲线。 对于局部参数的Bézier曲线，当弦长差异较大时，弦长较长的那段曲线过分平坦，弦长较短的那段曲线则鼓(膨胀之意)得厉害。 5. Bezier曲线的递推算法 (de Casteljau) 公式中参数的几何意义 1)n: n次Bezier曲线 2)k: 第k级递推 3)i: 第k级定比分点的序号,第k级共有n-k个定比分点. 递推算法示