cy_JSJ_02__习题课课件.ppt

* 习题课2 插值法 一、基本内容与学习要求 插值问题、插值基函数、拉格朗日插值公式、差商、差分、牛顿插值公式，插值余项． 2．Runge现象、分段插值、Hermite插值、样条函数、样条插值． 3. 常用的求插值函数的方法有:待定系数法,基函数法,基于承袭性的递推构造法等. 要求掌握多项式插值的概念，插值多项式的存在惟一性，拉格朗日插 值多项式，牛顿插值多项式，多项式插值的余项表示，分段线性插值和分段二 次插值及其余项估计式。了解带导数条件的插值，会用三次样条插值． 解： 二、典型例题分析 例1. 令x0＝0， x1＝1，写出y(x)＝e-x的一次插值多项式L1(x) ,并估计插值误差． 记x0＝0， x1＝1 , y0＝e-0＝1，y1＝e-1; 则函数y＝e-x以x0、 x1为节点的一次插值多项式为 因为 y’(x)＝-e-x，y(x)＝ e-x ，所以 例2． 已知√100＝10， √121＝11， √144＝12，试利用二次插值多项式计算√115的近似值，并估计误差． 记y(x)＝√x， x0＝100, x1＝121, x2＝144, y0＝10, y1＝11, y2＝12; 则y(x)以x0、 x1 、 x2为节点的二次插值多项式为 解: 用L2(115)作为√115的近似值具有4位有效数字 . 例3． 设f(x)＝x4，试利用拉格朗日插值余项定理写出以-1, 0, 1, 2为插值节点的三次插值多项式． 解: 记f(x)以-1，0，1，2为插值节点的三次插值多项式为L3(x)．由插值余项定理有 所以 例4．证明由下列插值条件 所确定的拉格朗日插值多项式是一个二次多项式． 该例说明了什么问题? 以x0，x2，x4为插值节点作f(x)的2次插值多项式p(x)，则 解: x0 x2 x4 例5．对于任意实数λ≠0以及任意正整数r和s, r+s次多项式  满足 它说明了什么问题? 容易验证 因而6个点(xi, yi)，i＝0 1,…,5均在二次曲线p(x)＝x2-1 上． 换句话说，满足所给插值条件的拉格朗日插值多项式为 p(x)＝x2-1. 分析: 这是一个非标准插值问题,我们可以按各种思路去做．可按两种方法去做:一种是先求牛顿或拉格朗目型插值,再通过待定系数法求Pn(x)；另一种是先求埃尔米特插值,再通过待定系数法确定Pn(x) ．下面给出三种做法． 例6 求一个次数不高于4的多项式P4(x)，使它满足P4(0)= P4(0)=0， P4(1)= P4(1)=1，P4(2)=1． 解法一 先求满足P4(0)=0， P4(1)=1，P4(2)=1 的插值多项式P2(x)，易得 显然P4(x)满足P2(x)的插植条件，利用两个导数条件确定系数A，B．由P4(0)=0, P4(1)=1解得A=1/4,B=-3/4. 故 设 解法二 先作满足埃尔米特插值多项式 H3(x)． 解法三 构造插值基函数求. 记x0=0，x1=1，x2=2，并设所求多项式为 其中li(x)均为次数不超过4的多项式且满足如下条件： 易知 证 以a，b两点为插值节点作f(x)的一次插值多项式，利用插值多项 式的余项定理，得到 例7． 设f(t) ? C2[a，b]，求证 当x ?[a，b]时 由(1)，(2)得到 (1) (2) 从而 例8．设x0, x1, … , xn为n+1个互异的节点，li(x)为拉格朗日基本插值多项式，试证 3)设p(x)为任一个最高次项系数为1的n+1次多项式，则 证 1)记 则 以x0, x1, … , xn 为插值节点的拉格朗日插值多项式为 , 且有 注：课本P59习题2。 即 因而 2)记 则 以x0, x1,…, xn 为插值节点的拉格朗日插值多项式为 且有 因而 在上式中令t＝x，即得 即 例9 ．若 有n