Gauss型求积公式课件.ppt

* Gauss型求积公式 我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精度从n 或者n+1提高到2n+1？ 问题： 若求积公式 中含有2n+2个待定参数 由前面的讨论已经知道，以a=x0x1…xn=b为节点的N-C求积公式的代数精度一般为n或n+1,这时节点简单地按照闭式等距的方式确定。 对一个求积公式而言，如果不固定节点的位置， 在节点数目不变的情况下，代数精度能否提高， 最多能达到多少?高斯型求积公式讨论的就是最高代数精度的求积公式. 一、Gauss型求积公式 定义：把具有n＋1个节点的具有2n+1次代数精确度的插值型求积公式 称为Gauss型求积公式，其求积节点 （k=0，1，……n）称为高斯点，系数 称为高斯系数。 Remark：构造Gauss型求积公式的关键在于确定高斯点，再由n＋1个高斯点构造基函数，从而得到高斯系数。 节点 ，但是如何确定 ？只要求解 例 试构造高斯求积公式 思路： 定理：插值型求积公式中的节点 是高斯点的充要条件是，在[a,b]上，以这些点为零点 的n+1次多项式 与任意次数不超 过n的多项式P(x)正交，即 证明： 必要性 ： 设 是高斯点，于是对任意次数不超过n的多项式P(x) ， 的次数不超过2n+1。 故有 充分性 ： 设 对于任意次数不超过2n+1的多项式 设 除f(x)的商为p(x),余项为q(x)。 所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。 所以求积公式至少具有2n＋1次代数精确度。对于2n+2次多项式 有 而 故求积公式的代数精确度是2n+1。 证毕 两条结论： ①．高斯型求积公式一定是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定。 ②．高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式（2n＋1次）。 当高斯点确定以后，高斯系数 也可以由插值型求积公式中的系数公式 确定. 即可由线性方程组 确定。 二、Legendre多项式 n＋1次Legendre多项式为： 其性质有 1、n+1次Legendre多项式与任意不超过n次的多项式在区间[-1,1]上正交。 2、n+1次Legendre多项式的n+1个零点都在区间[-1,1]内。 例： 一次Legendre多项式及其零点为： 二次Legendre多项式及其零点为： 三次Legendre多项式及其零点为： 三、Gauss-Legendre求积公式 为 的零点 。 一点Gauss-Legendre求积公式为： 两点Gauss-Legendre求积公式为： 实际上我们可以给出任意次Gauss-Legendre求积公式在任意区间上的节点与系数，从而得到任意区间上的Gauss-Legendre求积公式。 三点Gauss-Legendre求积公式为： 事实上，作变换 即可将区间[a,b]变换到[-1,1]上： 0.5555555556 0.8888888889 0.1012285363 0.2223810345 0.3137066459 0.3626837834 ±0.9602898565 ±0.7966664774 ±0.5255324099 ±0.1834346425 8 0.1294849662 0.2797053915 0.3818300505 0.4179591837 ±0.9491079123 ±0.7415311856 ±0.4058451514 0 7 0.2369268851 0.4786286705 0.5688888889 ±0.9061798459 ±0.5384693101 0 5 0.3478548451 0.6521451549 ±0.8611363116 ±0.3399810436 4 ±0.7745966692 0 3 1 ±0.5773502692 2 6 n 0.1713244924 0.3607615730 0.4679139346 ±0.9324695142 ±0.6612093865 ±0.2386191861 2 0 1 Ak xk Ak xk n (2)求出pn(x)的n个零点x1 , x2 , … xn 即为Gsuss点. (1)求出区间[a,b]上权函数为W(x)的正交多项式pn(x) . (3)计算积分系数 Gauss型求积公式的构造方法 利用Schmidt正交化过程， 变为正交基 就可以将多项式基函数 解 按 Schemite 正交化过程作出正交多项式: 的2点Gauss公式. 求积分 例： 故两点Gauss公式为