1982年全国高中数学联赛题.doc

1982年全国高中数学联赛题 篇一：1982年全国高中数学联赛试题及解答 1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛 1．选择题(本题48分，每一小题答对者得6分，答错者得0分，不答者得1分)： ⑴ 如果凸n边形F(n?4)的所有对角线都相等，那么 A．F∈{四边形} B．F∈{五边形} C．F∈{四边形}∪{五边形} D．F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多 边形} 1 ⑵ 极坐标方程ρ=所确定的曲线是 1－cosθ+sinθ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ⑶ 如果log2[log1(log2)]=log3[log1(log3x)]= log5[log1(log5x)]=0，那么 2 3 5 A．zlt;xlt;y B．xlt;ylt;z C．ylt;zlt;xD．zlt;ylt;x ⑷ 由方程|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 A．1B．2C．πD．4 π ⑸ 对任何φ∈(0，)都有 2 A．sinsinφlt;cosφlt;coscosφB．sinsinφcosφcoscosφ C．sincosφcosφcossinφD．sincosφlt;cosφlt;cossinφ ⑹ 已知x1，x2是方程 x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数) 的两个实数根，x12+x22的最大值是 5 A．19 B．18 C．5D．不存在 9 ⑺ 设M={(x，y)| |xy|=1，x0}，N={(x，y)|arctanx+arccoty=π}，那么 A．M∪N={(x，y)| |xy|=1} B．M∪N=M C．M∪N=N D．M∪N={(x，y)| |xy|=1，且x，y不同时为 负数} ⑻ 当a，b是两个不相等的正数时，下列三个代数式： 1112a+b2 甲：(a+b， 乙：ab+， 丙：(2 ab2a+bab 中间，值最大的一个是 A．必定是甲 B．必定是乙 C．必定是丙 D．一般并不确定，而与a、b的取值有关 2．(本题16分)已知四面体SABC中， πππ ∠ASB=，∠ASC=α(0lt;αlt;，∠BSC=β(0lt;βlt;)． 222 以SC为棱的二面角的平面角为θ． 求证：θ=－arc cos(cotα?cotβ)． 3．(本题16分)已知：⑴ 半圆的直径AB长为2r；⑵ 半圆外的直线l 与BA的延长线垂直，垂足为T，|AT|=2a(2alt;|NQ|满足条件 r )；⑶ 半圆上有相异两点M、N，它们与直线l的距离|MP|、2 |MP||NQ| ． |AM||AN| 求证：|AM|+|AN|=|AB|． 4．(本题20分)已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且|AE|=|BF|=|CD|=1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z． ⑴ 求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值； ⑵ 求上述乘积xyz的极小值． 5．(本题20分)已知圆x2+y2=r2(r为奇数)，交x轴于点A(r，0)、B(－r，0)，交y轴于C(0，－r)、D(0，r)．P(u，v)是圆周上的点，u=pm，v=qn(p、q都是质数，m、n都是正整数)，且uv．点P在x轴和y轴上的射影分别为M、N． 求证：|AM|、|BM|、|CN|、|DN|分别为1、9、8、2． 1982年二十八省、市、自治区中学生联合数学竞赛解答 1．选择题(本题48分，每一小题答对者得6分，答错者得0分，不答者得1分)： ⑴ 如果凸n边形F(n?4)的所有对角线都相等，那么 A．F∈{四边形} B．F∈{五边形} C．F∈{四边形}∪{五边形} D．F∈{边相等的多边形}∪{内角相等的多 边形} 解：由正方形及正五边形知A、B均错，由对角线相等的四边形形状不确定，知D错，选C． 1 ⑵ 极坐标方程ρ=所确定的曲线是 1－cosθ+sinθ A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 1 解：ρ=，知e=2，选C． π 1－θ+) 4 ⑶ 如果log2[log1(log2)]=log3[log1(log3x)]= log5[log1(log5x)]=0，那么 2 3 5 A．zlt;xlt;y B．xlt;ylt;z C．ylt;zlt;xD．zlt;ylt;x 解：x=2，y=3，z=5；x=2=8，y=3=9，故xlt;y，又x=32，z=25，故zlt;x．故选A． ⑷ 由方程|x－1|+|y－1|=1确定的曲线所围成的图形的面积是 A．1