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2005年初中数学竞赛 篇一：2005年全国初中数学竞赛试题及答案 2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题及参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分。） 1、如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6。将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（ ） A、2 B、4C、6D、8 E 答：A 解：由折叠过程知，DE＝AD＝6，∠DAE＝∠CEF＝45°，所以△CEF是等腰直角三角形，且EC＝8－6＝2，所以，S△CEF＝2 2、若M＝3x2?8xy?9y2?4x?6y?13（x，y是实数），则M的值一定是（） A、正数B、负数C、零D、整数 解：因为M＝3x2?8xy?9y2?4x?6y?13＝2(x?2y)2?(x?2)2?(y?3)2≥0 且x?2y，x?2，y?3这三个数不能同时为0，所以M≥0 3、已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是 点I关于边BC，CA，AB的对称点。若点B在△A1B1C1的外接 C1 圆上，则∠ABC等于（） A、30°B、45°C、60°D、90° 答：C 解：因为IA1＝IB1＝IC1＝2r（r为△ABC的内切圆半径），所以 B1 点I同时是△A1B1C1的外接圆的圆心，设IA1与BC的交点为D，则IB＝IA1＝2ID， 所以∠IBD＝30°，同理，∠IBA＝30°，于是，∠ABC＝60° 111?2???)，则与A最接近的正整数为（） 4、设A＝48?(23?44?41002?4 A、18B、20C、24D、25 答：D 解：对于正整数m 1111?(?)n≥3，有，所以A＝24n?2n?2n?448?1?11111?1111111(1????)?(????)?12?(1???????) ?4?2985610223499100101102?? 1111???) 99100101102 111141因为12?(???)＜12?＜，所以与A最接近的正整数为25。 99100101102992＝25?12?( 5、设a、b是正整数，且满足56≤a＋b≤59，0.9＜a＜0.91，则b2?a2等于（ ） b A、171B、177C、180D、182 答：B 解：由题设得0.9b＋b＜59，0.91b＋b＞56，所以29＜b＜32。因此b＝30，31。 当b＝30时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜28，这样的正整数a不存在。 当b＝31时，由0.9b＜a＜0.91b，得27＜a＜29，所以a＝28。 所以b2?a2＝177 二、填空题：（共5小题，每小题6分，满分30分。） 6、在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针，（O为两针的旋转中心），若现在时间恰好是12点整，则经过 秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大。 答：1515 59 11OA?h≤OA?OB 22解：设OA边上的高为h，则h≤OB，所以S△OAB＝ 当OA⊥OB时，等号成立。此时△OAB的面积最大。 设经过t秒时，OA与OB第一次垂直。又因为秒针1秒钟旋转6度，分针1秒钟旋转0.1度，于是（6－0.1）t＝90，解得t＝1515 59 32m（m＞0）与x轴交于A、B两点，若A、B4 112两点到原点的距离分别为OA、OB，且满足??，则m的值等于 OBOA37、在直角坐标系中，抛物线y?x2?mx? 答：2 32m?0的两根分别为x1,x2且x1＜x2，则有 4 3x1?x2??m＜0，x1x2??m2＜0 4 112所以有x1＜0，x2＞0，由??，可知OA＞OB，又m＞0，所以，抛物线的对称OBOA3解：设方程x2?mx? 轴在y轴的左侧，于是OA?x1??x1，OB＝x2，所以由112??得m＝2 x1x23 8、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A、2、3、?J、Q、K的顺序排列。某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，??如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是 答：第二副牌中的方块6 解：根据题意，如果扑克牌的张数为2，22，23，?2n，那么依照上述操作方法，只剩下的一张牌就是这些牌的最后一张。例如，手中只有64张牌，依照上述操作方法，最后只剩下第64张牌。 现在，手中有108张牌，多出108－64＝44（张），如果依照上述操作方法，先丢掉44张牌，那么此时手中恰好有64张牌，而原来顺序的第88张牌恰好放在手中牌的最底