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2014全国初中数学竞赛试卷 篇一：全国初中数学竞赛试题及答案(2014年) 2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 说明：第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知x,y为整数，且满足(? 1 x111211 )(2?2)??(4?4)，错误！未找到引用源。则x?y的yxy3xy 可能的值有（ C ） A. 1个B. 2个 C. 3个D. 4个 2．已知非负实数x,y,z满足x?y?z?1，则t?2xy?yz?2zx的最大值为 （ A ） A． 45912B． C． D．791625 3．在△ABC中，AB?AC，D为BC的中点，BE?AC于E，交AD于P，已知BP?3，PE?1， 误 ！ 未 找 到 引 用 源 。 则错（ B ） A ＝ B C D 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是 （ B ） A． 1223 B． C． D．2534 3 5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}?t?[t].已知实数x满足x? 11 ?18{x}?{? ，则x3x （ D ） 11 B ．3 C ．(3D．1 22 6．在△ABC中，?C?90?，?A?60?错误！未找到引用源。，AC?1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ?ADE?90? ,则BE的长为 A．（ A ） A ．4?B ．2 C ．二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知实数a,b,c满足a?b?c?1，2．使得不等式 1 1) D 1 2 111 ???1，则abc?__0__． a?b?cb?c?ac?a?b 9n8??错误！未找到引用源。对唯一的整数k成立的最大正整数n为17n?k15 ． 3．已知P为等腰△ABC内一点，AB?BC，?BPC?108?，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则?PAC? 1 / 5 48? ． 4．已知正整数a,b,c满足:1?a?b?c，a?b?c?111，b2?ac，则b? 第二试 （A） 一、（本题满分20分）设实数a,b满足a2(b2?1)?b(b?2a)?40，a(b?1)?b?8，求值． 解 由已知条件可得a2b2?(a?b)2?40，ab?(a?b)?8. 设a?b?x，ab?y，则有x2?y2?40，x?y?8， ……………………5分 联立解得(x,y)?(2,6)或(x,y)?(6,2).……………………10分 若(x,y)?(2,6)，即a?b?2，ab?6，则a,b是一元二次方程t2?2t?6?0的两根，但这个方程的判别式??(?2)2?24??20?0，没有实数根； ……………………15分 若(x,y)?(6,2)，即a?b?6，ab?2，则a,b是一元二次方程t2?6t?2?0的两根，这个方程的判别式??(?6)2?8?28?0，它有实数根.所以 11 ?的a2b2 11a2?b2(a?b)2?2ab62?2?2?2?22???8. ……………………20分 2222ababab2E为对角线BD上一点，二．（本题满分25分）如图，在平行四边形ABCD中，且满足?ECD??ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：?DFE??AFB． 证明 由ABCD是平行四边形及已知条件知?ECD??ACB??DAF. D ……………………5分 又A、B、F、 D四点共圆，所以?BDC??ABD??AFD，所以△ECD∽△DAF，……………………15分 B F EDCDAB ??. ……………………20分 DFAFAF 又?EDF??BDF??BAF，所以△EDF∽△BAF，故 ?DFE??AFB. ……………………25分 所以 3 3 3 三．（本题满分25分）设n是整数，如果存在整数x,y,z满足n?x?y?z?3xyz，则称n具有性质P.在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由. 333 解 取x?1，y?z?0，可得1?1?0?0?3?1?0?0，所以1具有性质P. 333 取x?y?2，z?1，可得5?2?2?1?3?2?2?1，所以5具有性质P.…………………5分 2 / 5 为了一般地判断哪些数具有性质P，记f(x,y,z)