工程数学教学课件作者黄炜第2章矩阵的概念及其运算课件.ppt

则 二、逆矩阵的求法 1、待定系数法 例6: 设 解： 设 是 的逆矩阵, 又因为 所以 定理: 奇异矩阵： 非奇异矩阵： （退化矩阵） （非退化矩阵） 推论： 注： 定义： 阶方阵的行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 2：伴随矩阵法 (1) (2) 例7：求方阵 的逆矩阵. 解 同理可得 故 解: 例8： 解： 例9： 3 初等矩阵 初等矩阵 定义 由 n 阶单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为 n 阶初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵． （1）对调 阶单位矩阵 的第 两行（或两列），得到的初等矩阵记为 （2）用数 乘 的第 行（或第 列）得到的矩阵，记为 （3）用数 乘 的第 行加到第 行上（或以 乘 的第 列加到第 列上）得到的矩阵，记为 由于 所以 若A是n 阶方阵， 则 为A的 次幂，即 方阵的幂： 并且 方阵的多项式： 5. 矩阵的转置 定义: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例: 转置矩阵满足的运算规律： 例5 ： 已知 解法1： 解法2： 课堂练习： 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明： 例6: 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵: 例8： 注：对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵 例7： 6. 方阵的行列式 定义：由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算规律：: 注：虽然 但 定义： 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 称为矩阵 的伴随矩阵. 1. 矩阵的加减法 设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为 加法: §2．2矩阵的基本运算 一、矩阵的线性运算 注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算. 例如： 减法: 负矩阵： 矩阵加法满足的运算规律: 2. 数与矩阵相乘 数乘: 注意：矩阵数乘与行列式数乘的区别. 例1 解 数乘矩阵满足的运算规律： 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） 接下来，请同学们看一个应用问题： 例2 某体育用品厂有三个车间生产足球和篮球，用矩阵表示 一天足球和篮球的产量，矩阵表示足球和篮球的单价和单位利润， 求该厂三个车间一天的总产值和总利润. 足球 篮球 实际我们会用到下列计算： 总产值 总利润 定义： 并把此乘积记作 二. 矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 1、矩阵乘法 设 例3 已知 例如： 例4： 求AB 故 解: 矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 注意　矩阵一般不满足交换律，即一般而言： 例如 设 则 矩阵乘法不满足消去律 例如： 有 但是 三. 矩阵的转置 定义: 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例: 转置矩阵满足的运算规律： 例5 ： 已知 解法1： 解法2： ◆转置矩阵的运算性质 四. 方阵的行列式 定义：由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 运算规律：: 注：虽然 但 例题 求 一般地， 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等. 说明： 例6: 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵: §2.3 .逆矩阵 一。逆矩阵的概念 则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵. 概念的引入: 在数的运算中， 当数 时， 有 其中 为 的倒数， （或称 的逆）； 在矩阵的运算中， 单位阵 相当于数的乘法运算中的1， 那么，对于矩阵 ， 如果存在一个矩阵 , 使得 定义： 例 : 设 可逆矩阵的运算性质 (5) 若 可逆，则有 * 第二章 矩阵 一. 矩阵概念 矩阵的定义 特殊矩阵 矩阵的应用实例 1