工程数学教学课件作者黄炜第3章线性方程组课件.ppt

第3章 线性方程组 例如 定义 对于给定的向量组 若存在一组数 ，使得 则称向量 可由向量组 线性表示。 或向量 是向量组 的线性组合。 4、对向量组 ，若当 时， 【例6】证明：n维单位向量组 线性无关 【例7】证明：由两个向量 构成的 向量组线性相关的充要条件是 成比例。（即 或 ） 2、基础解系及其求法 则以矩阵（3）为增广矩阵的方程组与方程组（1）同解。 化为行最 简形矩阵 由矩阵（3）可讨论方程组（1）的解的情况 1) 若 ，则方程组无解。 2) 若 则方程组有解， 当 有唯一解。 有无穷多解。 特别地，方程组(1)的导出组，即对应的齐次线性方程组 一定有解。 当 有唯一的零解。 有无穷多解，即有非零解。 2.线性方程组有解的判定条件 最后一行有 可知方程组无解。 例2：用消元法解 线性方程组 解： 对应的方程组为 即 所以一般解为 （k为任意常数） １）．解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） １．齐次线性方程组的解 二、齐次线性方程组的解 则上述方程组（1）可写成向量方程 若 为方程 的 解，则 　　称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解． ２）．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 　　由以上两个性质可知，方程组的全体解向量 所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的， 因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线 性方程组 的解空间． 证毕. １）．基础解系的定义 　　设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨 设 的前 个列向量线性无关． 于是 可化为 ２）．线性方程组基础解系的求法 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解. 所以 是齐次线性方程组解空间的一个基. 说明 １．解空间的基不是唯一的． ２．解空间的基又称为方程组的基础解系． 　　３．若 是 的基础解系，则 其通解为 定理1 例5 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有 * 称为n维向量，其中ai 称为该向量的第i个分量 常用于表示向量的字符： a,b,c,o,u,v,x,y,… =a 行向量 列向量 第三章线性方程组 §3·1 n维向量及其线性关系 一、 n维向量的概念 定义3·1 由n个实数a1, a2, …, an组成的有序数组 第三章 线性方程组 四维行向量 四维列向量 一般地：若 则 例如 对m×n 线性方程组 若 是方程组的一个解 做n维列向量 方程组的常数项可构成m维列向量 解向量 对系数矩阵 n维行向量 (i=1,2, …m) 取 则A可视为由m个n维行向量构成，且 m维列向量 (j=1,2, …n) 取 则A可视为由n个m维列向量构成，且 向量a的负向量：对向量a=(a1, a2, …, an ) ，称 向量(-a1,- a2, …, -an ) 为向量