工程数学教学课件作者黄炜第5章概率论1课件.ppt

概率论的诞生 3)、随机试验 说 明 * 不难看出，计算条件概率P(B|A)有两种方法： 在原样本空间S中分别求出P(A),P(AB),再 按定义公式计算； 在缩减样本空间A中按一般概率P(B)计算。 * 〖解〗方法1[在原样本空间S中计算] 【例1】一盒子装有5只产品，其中3只一等品，2只二 等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。 设事件A为“第一次取到一等品”，事件B为“第二次取到一 等品”，求条件概率P(B|A)。 因为“不放回依次取两只”[有序，排列]的每种不同 结果就是一个样本点,所以样本点总数为 A所含样本点均为“第一次取一等品的两产品”，故其 所含样本点总数[有利场合数]为 * 而AB的样本点均为“两次均取一等品”，故其所含样本点总 数[有利场合数]为 由古典概率公式得: 从而,由条件概率公式得: 方法2[在缩减样本空间A中计算] * “第一次取一等品的两只”均为A所含样本点,共有 ,其中两只均为一等品的为AB所含样本点, 共有 故由古典概率公式得: ■ 例1-续 S AB A * 1、条件概率也是概率。因而也满足概率的三条公 理及其各个性质。 对立事件概率公式: 等等,此处不一一列举. 二、条件概率的性质 例如，加法公式: 此外,概率P(A)就是条件概率P(A|S),即 P(A)=P(A|S)。 * 注意：①当P(A)0时,乘法公式与条件概率定义式是 等价的; ②当P(A)0,P(B)0时,有 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B); ③乘法公式可以推广到多事件情形.例如,三事件的 乘法公式为P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)[P(AB)0]。 由条件概率定义即可得: 乘法公式 设A,B为两个事件,且P(A)0,则 2、乘法公式 * ④乘法公式的几何解释：若将事件A的概率看作“A 在S中所占的面积比”[几何概率]，则显然成立： 其中 表示A的面积. ⑤应用乘法公式求多事件积事件概率的两种情形: ⅰ、积事件是其中各事件相继影响而形成; ⅱ、积事件中各事件或都发生、或都不发生、或其 中部分发生部分不发生，但事先并不知确已发生与否。 * 【例2】据以往资料表明,某一3口之家患某种传染病 的概率有以下规律:P{孩子得病}=0.6,P{母亲得病|孩子 得病}=0.5,P{父亲得病|母亲及孩子得病}=0.4.求“母亲 及孩子得病但父亲未得病”的概率。 〖解〗设A,B,C分别表示孩子、母亲、父亲得病的事 件。由题意知: 现求 由乘法公式得: ■ * 注意 由于本例中 都是地位平 等的随机事件,没有一个事先知道确已发生,所以所求 概率是积事件概率 ,而不是条件概率 * 【例2】设某透镜第一次落下打破的概率为1/2,若第 一次未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次均 未打破,第三次落下打破的概率为9/10,试求该透镜落下 三次而未打破的概率. 〖解〗设事件Ai=“透镜第i次落下打破”(i=1,2,3), B=“透镜落下三次而未打破”。 因为 ，且前次事件对后次事 件有影响，故由乘法公式得： 方法1 由已知条件知： * 于是， 方法2 因为事件“透镜三次落下打破”为 且 两两互斥,故由可加性得: ■ * 其中 由乘法公式得： 故得： 再由对立事件概率公式得： ■ * 定义2 设S为随机试验E的样本空间,B1,B2,…， Bn为E的满足下列条件的事件组： 则称 B1,B2,…,Bn 为样本空间S 的一个完备事件组[划分]. 3、全概率公式与贝叶斯公式 （i）BiBj=Φ(i≠j,I,j=1,2,…,n); (ii) 例如，在掷一枚骰子观察出现的点数试验中， B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6} 就是样本空间S的一个完备事件组。 * 定义2 设S为随机试验E的样本空间,B1,B2,…， Bn为E的满足下列条件的事件组： 则称 B1,B2,…,Bn 为样本空间S 的一个完备事件组[划分]. 3、全概率公式与贝叶斯公式 （i）BiBj=Φ(i≠j,I,j=1,2,…,n); (ii) 例