工程数学教学课件作者黄炜第5章概率论2课件.ppt

5.9 数学期望jifangcha 5.9 数学期望i方差 例4 设随机变量 X 密度为 例6 设随机变量Ｘ服从上的均匀分布，求 1. 随机变量方差的概念 例1 设随机变量X具有数学期望E(X)= ，方差 2. 重要分布的方差 3. 小结 离散型随机变量的方差 连续型随机变量的方差 (3) 方差的计算 1) 利用定义计算 证明 2) 利用公式计算 * 特别的,当μ=0,σ=1时称r.v.X服从标准正态分布, 其概率密度与分布函数分别为: 正态分布的性质: (1、概率密度曲线关于直线x=μ成轴对称; (2、概率密度函数最大值为: 且在点出x±μ处有拐点,并以x轴为水平渐近线; * (3、位置参数μ(X的数学期望)确定概率密度曲线的 位置;形状参数σ(X的均方差)确定概率密度曲线的形状; (4、标准正态分布函数满足公式: 由于标准正态分布概率密度函数关于y轴对称,因此, 概率密度曲线在(-∞,-x], [x,+∞)上与x轴所围成的 面积相等,而它们分别为: (5、非标准正态分布函数与标准正态分布函数之间 的关系[标准化]: 定理 设r.v. ,则r.v. 【证明】利用定积分的换元积分法,此略. 由上述定理可得: 因此,关于正态分布的计算只需利用标准正态分布即可,而标 准正态分布函数值可查附表2:标准正态分布表[P.295]求得。 * 一般,有下列公式:设r.v.X~N(μ,σ2),则 (6、标准正态分布的上α分位点与双侧α/2分位点: 定义5 设r.v.X~N(0,1),则称满足条件 的点 为标准正态分布 的上α分位点. 即 * 查表求上α分位点时应根据表头定义来具体处理. 例如：由附表2应利用 当α=0.05时,1- α=0.95,在附表2[P.295]的表中函数值 中找到最接近0.95的值:0.9495与0.9505,它们对应的x值分 别为1.64与0.65,故可取其算术平均值为上0.05分位点: 当α=0.005时,1- α=0.995,在表中函数值中找到最接 近0.995的值:0.9949与0.9951,它们对应的x值分别为2.57 与2.58,故可取其算术平均值为上0.005分位点: * 例如，当α=0.05时, α/2=0.025,1- α/2=0.975,查标准 正态分布表可得双侧0.025分位点为 此外，在数理统计中还经常用到“双侧α/2分位点”： * (7、利用标准正态分布函数可以计算概率积分： (8、正态分布的“3σ-原则” * 【例5】设随机变量X~N(3,4), (1) 求P{2X5},P{-4X10},P{|X|2},P{X3}; (2) 确定c,使P{Xc}=P{X≤c}. 【解】(1) σ=2 (2) 因为 所以 ■ 于是， 即 1．数学期望的概念 3．数学期望的性质 2．随机变量函数的数学期望 4. 小结 * 关于重要分布,请看教材附表1:几种常用的概率分 布[P.292-294]. χ2-分布、t-分布、F-分布将在第六章中简单扼要 地予以介绍,它们是数理统计的基础，请预习之! 1．数学期望的概念 3．数学期望的性质 2．随机变量函数的数学期望 4. 小结 　随机变量的数学期望是概率论中最重要的概念之一. 它的定义来自习惯上的平均值概念. 引例 将一枚骰子掷100次，各点数出现的次数与频率如下,求每次投掷的平均点数． 14 21 17 22 10 16 14/ 100 21/ 100 17/ 100 22/ 100 10/ 100 16/ 100 次数 频率 1 2 3 4 5 ６ 点数 1. 数学期望的概念 (1) 离散型变量数学期望的定义 试验次数很大时, 频率会接近于概率pk 14 21 17 22 10 16 14/ 100 21/