工程数学教学课件作者黄炜第6章数理统计课件.ppt

例如,σ=1,n=16,α=0.05,1-α=0.95,查表得 | ,则得到一个置信度为95%的置信区间 若有一个样本值，并算得样本均值的观察值为 则得到一个具体区间 它不再是随机区间，但仍称之为置信度为95%的置 信区间，其含义为：区间(4.71,5.69)包含μ的可信度 为95%. 续 (3).此处置信区间的长度为,即 (1).区间(4.71,5.69)包含μ的可信程度为95%; (2).置信区间不唯一.由于标准正态分布概率密度对称,故一般取对称置信区间,即双侧分位点对称.当然,也可取其它非对称的置信区间,即双侧分位点不对称.显然,长度愈短估计精度愈高; 解得容量 注意 ? 方差σ2未知[比方差已知情形更实用] 由于 是 的无偏估计,在上述随机变量Z中“换 σ为S”且由ch6-th2 可作随机变量 其分布不依赖于任何未知参数. 由t-分布的双侧α/2分位 点概念知: 即 故得到μ的一个置信度为1-α的置信区间 续 【例1】设某种清漆9个样品的干燥时间(小时)分别为 6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 设干燥时间服从正态分布N(μ,σ2).在下列条件下求μ 的置信度为0.95 的置信区间: (1) σ=0.6(小时); (2) σ未知.[P.185:14] (1)因为方差已知,故均值μ的置信区间为 〖解〗单正态总体,置信度为1-α=0.95, α=0.05. 由于 故所求置信区间为 即 续 (2)因为方差未知,故均值μ的置信区间为 由于 故所求置信区间为 即置信区间为 续 ■ 2、方差σ2的置信区间 只介绍μ未知情形. 由于 是 的无偏估 计, 故可作随机变量 其分布不依赖于任何未知参数. 由χ2-分布的双侧α/2分位点概念知: μ已知情形参考. 故得到σ2的一个置信度为1-α的置信区间 即 进而可得σ的一个置信度为1-α的置信区间 续1 〖注意〗χ2-分布与F-分布概率密度虽不对称, 但习惯上仍取面积对称意义上的双侧分位点,以简化 计算.当然,这样的置信区间长度并非最短. 单 正 态 总 体 已知方差,均值置信区间 (N(0,1)-分布) 未知方差,均值置信区间 (t(n-1)-分布) 未知均值,方差置信区间 (χ2(n-1)-分布) 已知均值,方差置信区间 (χ2(n)-分布) 单正态总体小结 【例2】分别使用金球和铂球测定引力常数， 设测定值服从正态分布N(μ,σ2),其中μ,σ2均未知. 就两种情况分别求μ的置信度为0.9的置信区间,并求 σ2的置信度为0.9 的置信区间. 〖解〗单正态总体. 方差未知,均值的置信区间——t分布. 6.664 6.667 6.667 6.661 6.661 铂球观察值 6.672 6.679 6.678 6.676 6.681 6.683 金球观察值 (1)置信度1-α=0.9 ,α=0.1,n=6,由样本值计算得： 查表得: 所得置信区间为: 即为: (2)置信度1-α=0.9 ,α=0.1,n=5,由样本值计算得： 查表得: 续1 均值未知,方差的置信区间——χ2-分布. 所得置信区间为: 即为: 续2 即为: 续4 ■ 设有两个正态总体 1、均值差μ1- μ2的置信区间 双正态总体情形 分别是来自两个正态总体的独 立样本，其样本均值与样本方差分别为： ? 方差 均已知 【推导】因为 分别是 的无偏估计,且 从而可得 的一个置信度为1-α的置信区间为 故 是 的无偏估计,且有 从而 ? 方差 均未知 当样本容量都很大时,可用样本方差代替总体方差 而得 的置信度为1-α的近似的置信区间为 ? 方差 未知 由ch6-th3得 方差都未知,均值差置信区间 求导得： 续-1 四则运算求导法则 即 也即 解得极大似然估计值为 续-2 续 极大似然估计量为 ■ ? 多参数情形 当总体分布中含有多个待估参数时，可类似于单 参数情形来求其极大似然估计，其步骤为： ? 写出似然函数 ? 求多元似然函数的极大值点；当L关于各参数 可导时，可解似然方程组