工程数学教学课件作者黄炜第7章傅里叶级数与拉普拉斯变换课件.ppt

积分变换 二、 傅里叶变换的概念和性质 傅里叶积分定理 若在 上满足下列条件： （1）在任一有限区间上满足狄利克莱条件； （2）在 无限区间绝对可积，即 收敛.则有 （1） 成立.而 在它的间断点t处应以 来代替. （1）式称为函数的傅里叶积分公式，简称傅氏积分公式. §3 Fourier变换与逆变换的性质 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙述方 便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求傅氏变换的函 数都满足傅氏积分定理中的条件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件. 1.线性性质: 2. 位移性质: 证明： 为实常数，则 3. 相似性质： 证明： 例1 计算 。 方法1：（先用相似性质，再用平移性质） 方法2：（先用平移性质，再用相似性质） * 使用教材 工程数学 作者：黄炜 页数：290 出版社 ：高等教育出版 社 ISBN：9787040240801 拉氏变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频域的代数方程以便求解。 一、 拉普拉斯变换的定义 1. 拉氏变换法 例 熟悉的变换 1 对数变换 把乘法运算变换为加法运算 2. 拉氏变换的定义 正变换 反变换 t 0 , f(t)=0 积分下限从0? 开始，称为0? 拉氏变换 。 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。 今后讨论的拉氏变换均为 0? 拉氏变换,计及t=0时f(t)包含的冲击。 3.典型函数的拉氏变换 (1)单位阶跃函数的象函数 (3)指数函数的象函数 (2)单位冲激函数的象函数 § 7-2 拉普拉斯变换的基本性质 一、线性 例7-2 若： 上述函数的定义域为[0， ∞]，求其象函数。 二 、导数性质 1. 时域导数性质 例7-3 应用导数性质求下列函数的象函数： 推广： 三、积分性质 四、延迟性质 1.时域延迟 f(t)?(t) t t f(t-t0)?(t-t0) t0 f(t)?(t-t0) t t0 例13-5 求图示矩形脉冲的象函数 1 T t f(t) T T f(t) 2、频域平移性质 积分 小结： 微分 Fourier变换 Recall: 周期函数在一定条件下可以展开为Fourier级数； 但全直线上的非周期函数不能用Fourier表示； 引进类似于Fourier级数的Fourier积分 (周期趋于无穷时的极限形式) 最常用的一种周期函数是三角函数。人们发现, 所有 的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.—— Fourier级数 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近 1.2?Fourier积分公式与Fourier积分存在定理 { O w1 w2 w3 wn-1wn { w §2 Fourier变换 2.1 Fourier变换的定义 Fourier积分存在定理的条件是Fourier变换存在的 一种充分条件. 在频谱分析中, 傅氏变换F(?)又称为f(t)的频谱函 数, 而它的模|F(?)|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱). 由于?是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间 函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱. 例 1 求矩形脉冲函数 的付氏变换及其 积分表达式。 t f (t) 例4 求正弦函数f (t)=sinw0t的傅氏变换。 p p -w0 w0 O w |F(w)| t * *