工程应用数学教学课件作者曹勃第二章傅立叶级数课件.ppt

第二章 傅立叶级数 2.1 引子 2.2 级数的概念 2.3 傅立叶级数 2.4 用MATLAB进行傅立叶级数运算 第二章 傅立叶级数 第二章 傅立叶级数 小 结 第二章 傅立叶级数 小 结 小 结 小 结 第二章 傅立叶级数 小 结 直流分量为 基波为 其中 为偶数时， 次谐波分量为 为奇数时， 次谐波分量为 1. 函数系的正交性； 2. 三角傅立叶级数及其傅立叶系数； 3. 指数傅立叶级数及其傅立叶系数； 4. 三角傅立叶级数系数和指数傅立叶级数系数之间的关系； 5. 狄利克雷充分条件； 6. 周期为 的周期函数的三角傅立叶级数。 3. 奇函数和偶函数的三角傅立叶级数 周期信号的对称性与傅立叶系数 的关系 案例【脉冲矩形波】 宁波春光无线电厂需分析方波信号 的特征，现对方波信号 进行谐波分析，指出基波和 次谐波分量. 解 由图知， 为奇函数 得到 的傅立叶级数展开式为: 基波为 只包含有正弦分量. 次（奇次）谐波分量为 案例【半波整流余弦脉冲波】 杭州某研究所需分析周期性半波整流余弦脉冲信号， 现对余弦信号进行分析. 解 由图知， 为偶函数 得到 的傅立叶级数展开式为 4. 奇函数和偶函数的指数傅立叶级数 案例【周期矩形波】 杭州尖峰电子有限公司的技术人员需分析周期方波信号 特征，其中脉宽为 ，脉幅为 ，周期为 ， 现对方波信号进行谐波分析，并指出 次谐波分量（用 指数形式表示）. 解 在周期 内的表达式为 为偶函数，取 得到 的傅立叶级数为 次谐波分量为 案例【周期三角脉冲信号】 浙江某技术研究所需分析周期三角脉冲信号 的特 征，其中振幅为1，周期为2，现对三角脉冲信号进行 谐波分析，并指出 次谐波分量（用指数形式表示）. 解 由图知， 在区间 的表达式为 由 为奇函数知 取 ，则指数傅立叶系数为 所以周期三角脉冲信号的傅立叶展开式为 次谐波分量为 5. 三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的转化 例 已知 的三角傅立叶级数展开式为 求它的指数傅立叶级数展开式. 解 得到 的指数傅立叶级数展开式为 1. 奇函数和偶函数的三角傅立叶级数； 2. 奇函数和偶函数的指数傅立叶级数； 3. 三角傅立叶级数和指数傅立叶级数的转化. 6. 非周期函数的傅立叶级数 （1）如果只在区间 上有信号 ，并且满足收敛 条件，那么 仍可以展开成傅立叶级数 做法：周期延拓 即作周期为 的周期函数 ， 端点处收敛于 例 将函数 在区间 上展开成傅立叶级数. 解 所给函数在区间 上 满足收敛条件，并且拓广 为周期函数时，它在每一 点 处都连续，如图 因此拓广的周期函数的傅立叶级数在 上收敛于 傅立叶系数如下： 于是 6. 非周期函数的傅立叶级数 （1）如果只在区间 上有信号 ，并且满足收敛 条件，那么 仍可以展开成傅立叶级数 做法：周期延拓 即作周期为 的周期函数 ， 端点处收敛于 （2）如果 只在 上有信号且满足收敛条件， 要得到 在 上的傅立叶展开式且展开形式 不唯一，常用方法有奇延拓和偶延拓. 做法：将 延拓成函数 奇延拓: 奇函数 函数 傅立叶正弦级数: 偶延拓: 偶函数 函数 傅立叶余弦级数: 案例【信号分析】 将脉冲信号 （1）用正弦分量分析在区间 上的信号 （2）用直流分量和余弦分量分析在区间 上的信号 得到 的傅立叶正弦级数为 解 （1）求正弦级数，对函数 进行奇延拓， 如图 （2）求余弦级数，对信号函数 进行偶延拓 ， 如图 得到 的傅立叶余弦级数为 综合案例 有一水平弹簧振子， ，重物的质量 ， 静止在平衡位置上，设以一水平恒力 作用于 物体（不计摩擦），使之从平衡位置向左运动 ， 此时撤去力 ，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求运动方程. （2）建立数学模型： 建立坐标系， 点选在弹簧平衡 位置处，水平向右为