工程应用数学教学课件作者曹勃第三章拉普拉斯变换课件.ppt

第三章 拉普拉斯变换 3.1 引子 3.2 拉普拉斯变换的概念 3.3 拉普拉斯变换的计算 3.4 拉普拉斯逆变换的计算 3.5 拉普拉斯变换的应用 3.6 用MATLAB进行拉普拉斯变换 第三章 拉普拉斯变换 第三章 拉普拉斯变换 第三章 拉普拉斯变换 第三章 拉普拉斯变换 第三章 拉普拉斯变换 第三章 拉普拉斯变换 2) 因为有理式 的分母无实根，所以 无法用部分分式法把它分解成几个简单象函数的和， 于是 注意: 一般地 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因式分解法 配方法 例 解 求象函数 的逆变换 因为分母 中， 的 查表 拉普拉斯变换的应用 用拉普拉斯变换解微分方程 拉氏变换求解微分方程的步骤： 1)对微分方程的两边取拉氏变换，得象函数代数方程； 2)由代数方程求象函数； 3)对象函数取拉氏逆变换，求出象原函数(即微分方程的解). 用图表示如下： ? ? ? ? ? ? ? ? ? 微分方程 象函数的代数方程 象原函数 (原方程的解) 象函数 取拉氏变换 解代数方程 取拉氏逆变换 例 解 求微分方程 ， 满足初始条件 的特解 对方程两边进行拉氏变换，且设 由拉氏变换的微分性质知 由初始条件为 得 解出 ，并分解象函数，得 两边取拉氏逆变换，得 例 解 求 的拉普拉斯变换 因为 所以，由性质2知 例 解 求 的拉普拉斯变换 因为 所以，由性质2知 性质3【延滞性质】 例 解 求 的拉普拉斯变换 由滞后性质及 例 解 求图示阶梯函数的拉普拉斯变换 该阶梯函数可用单位阶梯函数表示为： 上式两端取拉氏变换，并根据拉氏变换的线性性质及滞后性质，得 性质4【微分性质】 表明：一个函数求导后的拉氏变换等于这个函数的 拉氏变换乘以参数 ，再减去该函数的初值 类似地， 利用微分性质及其推论，可将函数 的微分方程转化为 象函数的代数方程，给解微分方程提供了简便的方法 例 求 解 例 利用微分性质求函数 的拉氏变换 解 由微分性质 得 例 求 解 根据拉普拉斯变换的位移性质 根据微分性质 性质5【积分性质】 表明：一个函数积分后取拉氏变换等于这个函数的 拉氏变换除以 类似地， 特别地，当 时， 例 求函数 的拉氏变换 解 所以由积分性质 例 解 求 根据性质 又根据性质 性质6【相似性质】 案例【系统稳定性】 在自动控制系统中，为研究系统的稳态性能（即函数 在 时的数值），因此经常需要求函数的初始值 和终值。 性质7【初值定理】 性质8【终值定理】 例 解 设 求 例 解 设 求 拉普拉斯逆变换的计算 引例 在自动控制的一阶线性系统中，有一种典型一阶系统， 其输入信号为单位阶跃函数，为研究系统输出信号的 变化规律，需要掌握该系统的响应函数（输出信号函 数）. 解 根据自动控制系统的知识，典型一阶系统的微分方程为 对微分方程两边进行拉氏变换，且设 由于系统为典型一阶系统， 已求出了输出信号函数的拉氏变换， 那么如何求输出信号函数呢 ？ 拉氏逆变换的求法 定义 记为 由拉氏变换的象函数 求原函数 的运算称为 拉氏逆变换（或拉氏反变换） 拉氏逆变换的性质 性质1【线性性质】 性质2【平移性质】 性质3【延滞性质】 拉普拉斯逆变换的求法 直接查表法 性质法 例 解 求下列函数的拉氏逆变换 1）将 代入公式表中的公式5，得 2) 因为 例 解 求下列函数的拉氏逆变换 1）由公式 知 2) 如果象函数比较复杂，不能从表中直接找到，可先把 象函数分成若干个简单象函数之和，然后