工程应用数学教学课件作者曹勃第一章矩阵代数课件.ppt

第一章 矩阵代数 第一章 矩阵代数 引 子 第一章 矩阵代数 1.1 矩阵概念 第一章 矩阵代数 1.2 矩阵的基本运算 第一章 矩阵代数 第一章 矩阵代数 1.4.2 线性方程组的解 第一章 矩阵代数 1.5.1 用Matlab进行矩阵运算 1.5.2 用Matlab求解线性方程组 可逆矩阵运算律： （1） （4） （2） （3） 注意： 矩阵的初等行变换 1.3 矩阵的初等行变换 一、 矩阵的初等行变换 引例 用含盐5%与53%的两种盐水， 混合配制成含盐25%的盐水300 千克，需要这两种盐水各多少 千克？ 解 设需要这两种盐水各为 根据题意，可建立如下线性方程组 思考： 上述解方程过程中，归结起来有以下三种变换： （1）对换矩阵两行的位置． （2）用一个非零数遍乘矩阵的某一行． （3）将矩阵某一行乘以数 加到另一行． 定义 对矩阵进行下列三种变换，称为矩阵的初等行变换： （1）对换矩阵两行的位置 （2）用一个非零数遍乘矩阵的某一行 （3）将矩阵某一行乘以数 加到另一行． 对换 数 定义 满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵： （1）零行（元素全为零的行）位于最下方； （2）首非零元（即非零行的第1个不为零的元素）的 列标随着行标的递增而严格增大． Eg. 例 用初等行变换将矩阵 化为阶梯形矩阵． 解 利用初等行变换，有 注意：对矩阵 进行初等行变换，得到新矩阵， 原矩阵与新矩阵之间只能划箭头，不能划等号． 定义 对于阶梯形矩阵若它还满足： （1）各非零行的第一个非零元素均为1； （2）各非零行的第一个非零元素所在的列的其余元素均为零 Eg. 则称该矩阵为最简阶梯形矩阵． 例 将矩阵 化为最简阶梯形矩阵． 解 ． 二、逆矩阵的求法 利用行初等变换求矩阵 的逆矩阵方法： 1.构造 矩阵 ２.对 连续施以行变换，把 化为 ，同时对 施以 完全相同的初等行变换，把 化为 的逆矩阵 注意：这是一种很重要的求逆及其相关运算的方法 例 设矩阵 ，求逆矩阵 解 例 求解矩阵方程 ，其中 解 所以 可逆，且 则 案例 一艘轮船以 的速度在 河道中航行，逆水速度航行的 速度为 ，顺水航行的速 度为 ，河水流速为 ， 请用逆矩阵求出轮船航行的速度和水流的速度 分别是多少？ 解 根据题意，得如下矩阵方程 设 则 用初等行变换求出 ，即 三、 矩阵的秩 定义 设矩阵 ，利用初等行变换把矩阵 化为阶梯形矩阵， 阶梯矩阵中的非零行的行数为 ，称 为矩阵 的秩． 记作 例 设矩阵 ，求 解 线性方程组 基本定义 线性方程组 可写为矩阵形 其中 系数矩阵 未知数矩阵 参数矩阵 将系数矩阵 和常数项矩阵 放在一起构成的矩阵 增广矩阵 当 时 ，称方程组 为齐次线性方程组． 当 时 ，称方程组 为非齐次线性方程组． 1.4.1 线性方程组解的判定 引例 求解线性方程组 解 对该方程组的增广矩阵 进行初等行变换，即 上述最后阶梯形矩阵对应的线性方程组是 显然无论 取什么值，都不能使方程组中的 第三个方程成立，即第三个方程无解，因而这个方 程组也无解． 齐次线性方程组解的判定定理 齐次线性方程组 一定有解.且 （1）当 时，方程组只有零解； （2）当 时，方程组有无穷多非零解． 非齐次线性方程组解的判定定理 非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是 （1）当 时，方程组有唯一解； （2）当 时，方程组有无穷多解． （3）当 时，方程组无解． 例 判别下列齐次线性方程组是否有非零解？ 解 用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩阵，即 齐次线性方程组只有零解 例 设线性方程组 解 用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵，即 问 取何值时，此方程组 （1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多解？ （1）当 且 时， ，方程组有唯一解； （2）当 时，