《《数学分析》(华师大二版)课本上的习题5.docVIP

P.94 习题 1．已知直线运动方程为。分别令，求从至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。 解 平均速度 当时， 当时， 当时， 瞬时速度 2．等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。 解 设旋转体时刻转过的角度为，若极限存在，则定义该极限值为旋转体在时刻的角速度。 3．设，，试求极限 解 4．设，试确定，的值，使在可导。 解 要使在可导，在必连续，于是必左连续。 ，从而。 在的右导数。 左导数为 只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导。这时 5．试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线： （1） （2） 解 函数的导数，两直线平行的条件是斜率相等。 （1）直线的斜率为1，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。 （2）直线的斜率为2，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。 6．求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程： （1） （2） 解 （1） 切线方程为：，法线方程： （2） 切线方程为：，法线方程： 7．求下列函数的导数： （1） （2） 解 （1） 当时，；当时，； 当时，，，所以。 （2）当时，；当时，； 当时，，，左导数与右导数不相等，所以在不可导。 8．设函数（m为正整数），试问： （1）m等于何值时，在连续； （2）m等于何值时，在可导； （3）m等于何值时，在连续。 解 （1），故对任意正整数m，在连续。 （2），故当时，在可导。 （3）先计算的导函数。， 由（2）知，，于是当时，有，所以当时，在连续。 9．求下列函数的稳定点： （1） （2） 解 （1），令，得稳定点为：，k为整数。 （2），令，得稳定点为： 10．设函数在点存在左右导数，试证在点连续。 证明 设函数在点存在左右导数，于是 从而，即在点左连续。同理可证在点右连续。因而在点连续。 11．设，，求 解 （因为） 12．设是定义在R上的函数，且对任何，都有 若，证明对任何，都有 证明 在中令，可得. 在中令，得 ，于是有， 从而有 ， 所以 13．证明：若存在，则 证明 14．证明：若函数在上连续，且，，则在内至少有一点，使 证明 因为，所以由函数极限的局部保号性，存在点的右邻域，，使得当时，有，于是.又因为，所以也存在点的左邻域，，使得当时，有，于是有，从而. 因为函数在上连续，于是在上连续，由闭区间上连续函数的介值定理，至少存在一点，使得. 15．设有一吊桥，其铁链成抛物线型，面端系于相距100米高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10米处，求铁链与支柱所成之角. 解 建立坐标系如图，设铁链曲线 为，由题意有 于是. 铁链在悬点的切线 斜率为，从而铁链与支柱所成之角为 16．在曲线上取一点，过的切线与该曲线交于，证明：曲线在处的切线斜率正好是在处切线斜率的四倍. 证 曲线上点处的切线斜率为，过点的切线方程为. 该切线与曲线的交点满足： ，于是有，， ，从而. 所以曲线在点处的切线斜率为：，正好是在处切线斜率的四倍. P.103习题 4．对下列各函数计算 （1） （2） （3） 解 （1），， （2）令，则，于是。从而，， 也可以如下进行：在两端分别对求导数，得，再令，……. （3）令，则，于是。从而，， 6．设为可导函数，证明：若时有， 则必有或 证明 因为，，所以当时有，，由题设，有，于是，从而或 另证：当时 由题设，有，于是，从而或 P.105习题 4．证明曲线，（）上任一点的法线到原点距离等于. 证明 曲线上点处的切线斜率为, 法线斜率为. 于是该点的法线方程可表示为. 从而原点到该法线的距离为 5．证明：圆（）上任一点的切线与向径的夹角等于向径的极角. 证明 由教材P.105, 公式 (5), 切线与向径的夹角的正切为 ，所以切线与向径的夹角等于向径的极角. 6．求心形线的切线与切点向径之间的夹角. 解 切线与切点向径之间的夹角的正切： ，所以 P.109习题 2．设函数在点处二阶可导，证明：若，则在处有 证明 因为在点处二阶可导，所以在的某邻域内一阶可导，并且， ， 在处有 所以在处有 3．求下列函数的高阶导数 ⑷ ，求 解 由Leibniz公式，有 5．求下列函数的 n 阶导数： ⑶ 因为，所以 ⑷ 因为，，，由Leibniz公式，得 ⑸ 解 因为 所以 ⑹ 解 其中，，. 一般地可推得 7．研究函数在处的各阶导数. 解 首先计算一阶导数：因为，所以当时，，当时，. ，，所以. 于是. 其次计算二阶导数：当时，，当时，. ，，所以，从而. 三阶导数：，，所以不存在. 故, 当时, 不存在.