应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏1-3课件.ppt

1·3 函数的连续性 案例研究 案例1.3 冰水吸收热量与温度的函数关系：我们知 道，当冰加热到一定程度时，就会溶化成水. 但我们是否知道，冰在溶化过程中，它所吸收的热量Q与温度t之间有何种关系呢？下面我们来研究这个问题. 分析： 结论：函数的图像在点 处是间断的，而在区间 和 内的任意一点处是连续的. 抽象归纳 函数的增量 例 考察函数 依赖自变量x的变化情况， 如下表（空格处请读者填写）： -0.87 -1 1.95 2 0.0201 0.01 1.0201 1.01 1 1 4 1 3.8025 0.7569 -0.0500 0.1300 -0.1975 -0.2431 定义 如果函数y=f(x)在 的左右近旁有定义，当 自变量x由 变到 时，函数对应的值由 那么差 叫做自变量x的增量（或改变量）， 记作 即 而差 叫做函数y=f(x)在 处的 增量（或改变量）， 记作 即 函数增量的另一种表达形式： 几何解释 例1 设 求适合下列条件的自 变量的增量 和函数的增量 （1）x由 变化到 （2）x由 变化到 （3）x由 变化到 解 （1） （2） （3） 函数连续的定义 观察下述图形：函数 所表示的曲线在点 处连续，当 时， 观察下述图形：函数 所表示的曲线在点 处不连续，当 时， 函数在一点连续的定义1 设函数y = f(x)在点 的 左右近旁有定义，如果当自变量x在点 处的增量 趋 于0时，函数 相应的增量 也趋于0，即 那么称函数 在点 连续. 例2 证明函数 在点 处 连续. 证 （1）函数在点 及其左右近旁有定义. （2） 所以，函数 在点 处连续. 若令 则 于是 函数在一点连续的定义2：设函数y = f(x)在点 有 其左右近旁有定义，如果函数 当 时的 极 限 存 在， 且 等 于 它 在 点 处 的 函 数 值 ， 即 那么称函数 在点 连续. 函数 在点 处连续必须满足以下三个条 件： （1）函数y = f(x)在 点有定义，即 是一个 确定的数； （2）函数y = f(x)在 点有极限，即 存在； （3）极限值等于函数值，即 如果以上三个条件中有一个条件不满足，那么函数 在点 不连续. 这时，我们把 点叫做函数 的不连续点或间断点. 问：函数 在x=1连续吗？ 为什么？ 问：函数 在点x=0点连续吗？为 什么？ 问：函数 在x=1点连续吗？为 什么？ 例3 讨论函数 在点 处 的连续性. 解 因为 所以 函数 在点 有定义；又因 为 所以函数 在点 有极限，且 故函数在点 处连续. 左右连续：如果函数 在 点的左极限 存在且等于 即 那 么称函数 在点 左连续； 在 点 的 右 极 限 存 在 且 等 于 即 那么称函数 在点 右连续. 如果函数 区间上连续：如果函数 在区间（a，b）内每一 点都连续，那么称函数 在开区间 内 连续， 区间 叫做函 数 的连续区间. 如果函数 在 开区间（a，b）内连续，且在点a右连续，在点b左连 续，那么称 在闭区间 上连续. （几何意义如 图） 基本初等函数的连续性 由于基本初等函数在其定义域的每一个区间上的图像都是一条连续的曲线，因此基本初等函数在其定义域内是连续的. 连续函数的运算性质 如果 f(x) 和 g(x) 都在点 连 续，那么它们的和、差、积、商（分母不为0）都在点 连续. 复合函数的连续性 如果函数 在点 连 续，且 而函数 在点 连续，那 么复合函数 在点 连续. 基本初等函数的连续性 由于初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算或复合而成的，因此所有初等函数在其定义域内的区间上都是连续的. 例4 求函数 的连续区间. 解 因为函数 是初等函数，所以根据定理2， 函数的连续区间就是它的定义区间. 故所求函数的连续 区间为 如果 是初等函数， 是其定义区间内的点， 那么 在 连续. 于是，根据连续性的定义，有 这就是说，初等函数对定义域内点求极限，就是求它的 函数值. 例5 求 解 因为 是初等函数，它的一个定 义区间为（0，π）， 在该区间内，所以 例6 求 解 闭区间上连续函数的性质 最大值与最小值定理 如果 在闭区间[a，b]上 连续，那么 在 [a，b]上必有最大值 和最小