应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏2-1课件.ppt

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模块2 导数与微分 2·1 导数的概念 2·2 导数的运算 2·3 高阶导数 2·4 微分 2·1 导数的概念 案例研究 案例2.1 自由落体的瞬时速度:设物体在真空中 自由下落,则它的运动方程为 其中g为常数. 试求物体在 时刻的瞬时速度v. 分析 如图,给定时间变量t 在 处一个增量 则在从时刻 到 这段时间间隔内,物 体运动路程的增量为 物体在时段 内的平均速度: 物体在 时刻的瞬时速度v: 抽象归纳 导数的定义 设函数 在点 的左右近旁有定义, 当自 变量 x 在点 有增量 时, 函数有相应的增量 若当 时, 之比的极限 存在, 则称这个极限为函数 在点 的导数(或变化 率),记作 即 若上述极限存在,这时也称函数 在点 处 可导; 若极限不存在,则称函数 在点 处不可 导. 问:案例2.1的结论,怎样用导数概念表述? 导数的物理意义:变速直线运动的速度 是路程 在点 时刻的导数,即 例1 求函数 在 和 点的导数. 解 (1)求 在点 处的导数 (2)求 在点 处的导数 问:函数 在区间 内的每一点都可 导吗? 导函数的定义: 若函数 在区间 内每 一点都可导,则称函数在区间 内可导. 这时对任 意给定的值 都有一个确定的导数值与之对 应,因此就构成了x的一个新的函数,称为导函数,记作 即 导函数简称为导数. 讨论:函数的导数与导函数有何区别与联系? 例2 设 求 解 讨论:求函数在某点的导数时,为什么先求导函数? 例3 求函数 (C为常数)的导数. 解 即 讨论:有人用下面的方法求函数 在点 处的导数,它错在哪里? 解 因为 是常数,所以 例4 求函数 的导数. 解 即 填空: (1) (2) (3) (4) 一般地,对于幂函数 有 填空: 例5 求函数 的导数. 解 [1] 即 类似地,可以求得 例6 求函数 的导数. 解 即 [2] 特别地,当 时,得 用类似的方法,可以求得 特别地,当 时, 得 导数的几何意义 如图,设曲线c的方程为 求曲线c上点 处的切线斜率. 查看动画资料 在曲线c上取与点P邻近的点 割线PQ的斜率为 当点Q沿曲线c趋向于点P时, 割线PQ趋向 于极限位置PT. 我们把直线PT称为曲线c在点P处的切 线.此时,切线的斜率为 结论: 函数 在 处的导数 在几 何上表示曲线 在点 处的切线斜 率. (1)切线方程:因此,若函数 在点 处可导, 则曲线 在点 处切线的方程为 若 为无穷大, 且 在点 处连续,则曲 线 在点 处切线的方程为 讨论:曲线 在点 有切线,函 数 点 处是否一定可导? (2)法线方程: 过点 且与切线垂直的 直线称为曲线 在点 处的法线.若 则法线的斜率为 从而法线方程 为 例7 求抛物线 在点 处的切线方程和 法线方程. 解 (1)因为 所以切线方程 为: (2)因为 所以法线方程为: 函数可导与连续的关系 (1)可导 连续 证:设函数 在点 x 可导,则 所以,函数 在点 x 连续. 结论:若函数 在点 x 可导,则函数 在点 x 处必连续. 令 则 为无穷小. 于是 (2)连续 可导 例 它在点 处连续但不 可导. 讨论:上述函数为什么在 不可导? 结论:连续是可导的必要而非充分条件.

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