应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏2-1课件.ppt

模块2 导数与微分 2·1 导数的概念 2·2 导数的运算 2·3 高阶导数 2·4 微分 2·1 导数的概念 案例研究 案例2.1 自由落体的瞬时速度：设物体在真空中 自由下落，则它的运动方程为 其中g为常数. 试求物体在 时刻的瞬时速度v. 分析 如图，给定时间变量t 在 处一个增量 则在从时刻 到 这段时间间隔内，物 体运动路程的增量为 物体在时段 内的平均速度： 物体在 时刻的瞬时速度v： 抽象归纳 导数的定义 设函数 在点 的左右近旁有定义， 当自 变量 x 在点 有增量 时， 函数有相应的增量 若当 时， 之比的极限 存在， 则称这个极限为函数 在点 的导数（或变化 率），记作 即 若上述极限存在，这时也称函数 在点 处 可导； 若极限不存在，则称函数 在点 处不可 导． 问：案例2.1的结论，怎样用导数概念表述？ 导数的物理意义：变速直线运动的速度 是路程 在点 时刻的导数，即 例1 求函数 在 和 点的导数. 解 （1）求 在点 处的导数 （2）求 在点 处的导数 问：函数 在区间 内的每一点都可 导吗？ 导函数的定义： 若函数 在区间 内每 一点都可导，则称函数在区间 内可导． 这时对任 意给定的值 都有一个确定的导数值与之对 应，因此就构成了x的一个新的函数，称为导函数,记作 即 导函数简称为导数． 讨论：函数的导数与导函数有何区别与联系？ 例2 设 求 解 讨论：求函数在某点的导数时，为什么先求导函数？ 例3 求函数 （C为常数）的导数． 解 即 讨论：有人用下面的方法求函数 在点 处的导数，它错在哪里？ 解 因为 是常数，所以 例4 求函数 的导数． 解 即 填空： （1） （2） （3） （4） 一般地，对于幂函数 有 填空： 例5 求函数 的导数． 解 [1] 即 类似地，可以求得 例6 求函数 的导数． 解 即 [2] 特别地，当 时，得 用类似的方法，可以求得 特别地，当 时， 得 导数的几何意义 如图，设曲线c的方程为 求曲线c上点 处的切线斜率． 查看动画资料 在曲线c上取与点P邻近的点 割线PQ的斜率为 当点Q沿曲线c趋向于点P时， 割线PQ趋向 于极限位置PT. 我们把直线PT称为曲线c在点P处的切 线．此时，切线的斜率为 结论： 函数 在 处的导数 在几 何上表示曲线 在点 处的切线斜 率. （1）切线方程：因此，若函数 在点 处可导， 则曲线 在点 处切线的方程为 若 为无穷大， 且 在点 处连续，则曲 线 在点 处切线的方程为 讨论：曲线 在点 有切线，函 数 点 处是否一定可导？ （2）法线方程： 过点 且与切线垂直的 直线称为曲线 在点 处的法线．若 则法线的斜率为 从而法线方程 为 例7 求抛物线 在点 处的切线方程和 法线方程． 解　(1)因为 所以切线方程 为: (2)因为 所以法线方程为: 函数可导与连续的关系 （1）可导 连续 证：设函数 在点 x 可导，则 所以，函数 在点 x 连续． 结论：若函数 在点 x 可导，则函数 在点 x 处必连续． 令 则 为无穷小. 于是 （2）连续 可导 例 它在点 处连续但不 可导. 讨论：上述函数为什么在 不可导？ 结论：连续是可导的必要而非充分条件.