应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏2-2课件.ppt

2·2 导数的运算 案例研究 案例2.2.1 物体的运动速度：已知某物体做直线 运动，路程 s ( 单位：m )与时间 t ( 单位 ：s )的关为 求物体在 时的速度. 案例2.2.2 碳-14的衰减速度： 放射性元素碳-14 （1克）的衰减函数为 其 中 Q 是第 t 年后碳-14的余量（单位：g）. 求碳-14的 衰减速度（单位：g/年）. 抽象归纳 函数的和差积商的求导法则 定理：设 和 在点 x 处都可导，则 在点 x 处也可导， 且有下列法则： （1） （2） （3） 证 (2) 于是 所以 特例：当C为常数时，有 于是，得 （4） （C为常数）. 推广： 案例2.2.1的解 根据导数的四则运算法则，得 于是，得 答：物体在第2s时的速度是2.3069m/s. 例1　求函数 的导数． 解 即 类似地，可以求得： 例2　求函数 的导数． 解 即 类似地，可以求得： 例3 某电器厂在对冰箱制冷后断电测试其制冷效 果， t 小时后冰箱的温度为 问冰箱温 度 T 关于时间 t 的变化率是多少？ 解 答： T 关于时间 t 的变化率是 复合函数的求导法则 定理 若函数 在点 x 处可导，而函数 在对应点 处可导，则复合函数 在点x 处可导，且其导数为 证 当 时，则有 因为 在点 x 处可导，所以必连续. 因此，当 . 于是 又 所以 当 时，可以证明上式仍然成立. 结论：两个可导函数的复合函数的导数，等于函数 对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数. 简记 作 案例2.2.2的解 函数 是由 复合而成的. 因为 所以 即碳-14的衰减速度为 （单位：g/年）. 例4 解 可看作是由 复合而成的. 因为 所以 例5 解 推广： 复合函数的求导法则也称为链式法则 例6 求函数 的导数. 解 例7 证明幂函数导数公式： 证 因为 所以 即 例8 若水以 的速度灌入高为10 m，底面 半径为5 m的圆锥形容器中（如图），问当水深为6 m时， 水位的上升速度为多少？ 解 设在时间为t时，容器中的水的体积为V，水面 的半径为r，容器中水的深度为x. 由题意，有 又 即 因此， 因为水的深度 x是时间t的函数，即 所以水的体积 V 通过中 间变量 x 与时间 t 发生联系，是时间t的复合函数，即 两端关于t求导数，得 由已知， 代入上式，得 答：当水深6 m时，水位上升速度约为0.071 m/min. 隐函数的求导法则 引例1 这种形式的函数，叫做显函数. 引例2 在方程 中，给x一个确定值， 有惟一确定的y值与之对应. 因此，y 是 x 的函数. 这种 函数关系隐含在方程 中，通常称为隐函数 一般地，我们把由方程 所确定的函数 叫做隐函数. 问：怎样求隐函数的导数呢？ 例9 求由方程 所确定的隐函数 的导数 解 两端关于 x 求导，得 从上式中解出 得 隐函数求导法则： 在方程 中，将 y 看作 x的函数，y的表达式看作x的复合函数，利用复合函数 的求导法则，方程两端同时对x求导，得到一个关于x、 y、 的方程，从中解出 即得所求隐函数的导数. 例10 求椭圆 在点 处的切线 方程. 解 椭圆方程两边对x求导，得 解出 得 将 代入上式， 得 于是所求切线 方程为 即 例11 求函数 的导数. 解 可化为 两边对 x 求导数，得 即 因为当 时， 所以 于是，得 类似地，可求得 例12 设 证明 证 对 两边取对数，得 两边对x 求导，得 整理，得 对数求导法：先两边取对数，再利用隐函数的求导 法则求出导数，这种方法称为对数求导法． 例13 求函数 的导数. 解 两边取对数，得 两边对x求导数，得 即 讨论：何时用对数求导法比较简便？ 小结： 一、求导法则 1．导数的四则运算法则； 2．复合函数的导数法则； 3．隐函数的导数法则； 4．对数求导法。