应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏2-4课件.ppt

2·4 微分 案例研究 案例2.4 金属薄片的面积：一块正方形的金属薄片 (如图)，因受温度的影响,其边长由 x 变到 问此 薄片的面积 y 改变了多少? 分析 （1） 它是 的线性函数； （2） 即它是当 时的无穷小. 但它比 的速度快，事实 上有 这时我们称 是 的高阶无穷小， 记作 于是 很小时，高阶无穷小部分可以略去 不计，近似地有 的线性函数，为我们解决问题提供了 极大方便，有必要抽象出来进行专门研究，这就是所谓 的微分问题 归纳抽象 微分的定义 定义 设函数 在点 x 及其左右近旁有定义. 若函数的增量 可表示为 其中 是 x 的函数，而与 无关， 是比 高 阶的无穷小，则称函数 在点 x 处可微，并称 为函数 在点 x 的微分， 记作 即 可导与可微的关系 问：如果函数在一点可微，那么它在该点可导吗？ 分析 设函数 在点 x 处可微，则有 取极限，得 结论 若函数 在点 x 处可微，则它在点 x 处可导，且 问：如果函数在一点可导，那么它在该点可微吗？ 分析 若函数 在点 x 处可导，则 因此， 是无穷小. 于是 与 无关，所以函数 在点 x 处可微. 结论 函数 在点x处可导，则它在点x处可微. 定理 函数 在点x处可微的必要充分条件 是函数 在点x处可导，且当 在点x处 可微时，其微分一定是 例 函数 的微分是 讨论：（1）当 x 变化时，微分 的值 变化吗？ （2）当 变化时，微分 的值变 化吗？ 例1 求函数 时的增量及微分. 解 问：若用微分代替增量，误差是多少？ 问：自变量的微分是多少？ 函数 有 规定，自变量的微分 于是 从而 结论：函数的导数 等于函数的微分dy 与自变 量的微分dx的商. 因此，导数也叫做微商. 综上，可导与可微是等价的. 即 我们把求导数和求微分的方法统称为微分法. 导数与微分的一种直观理解 导数反映了函数的变 化率，微分反映了自变量微小变化时函数的改变量. 若把 中的字母d看作是表示“当…的极小的差”， 则符号 就提示我们，导数 是比值 的极限. 因此，借用 这个符号，可以揭示导数产生 的背景. 另外利用这个符号，还可以确定导数的单位： 变量 y 的单位除以变量 x 的单位，就是导数 的单位. 例如，符号 是距离的微分ds除以时间的微分dt，它 表示速度； 符号 是纵坐标的微分dy除以横坐标的微 分dx，它表示斜率. 例2 求函数 的微分． 解 微分的几何意义 如图，在曲线 上取一点 作切 线 则切线的斜率为 结论：函数 的微分 等于曲线 在点 处的切线的纵坐标的增量． 以直代曲： 很小时， 因此，在点M的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段 1．微分公式与微分运算法则 １．微分基本公式 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) ２．函数和、差、积、商的微分法则 (1) (2) (3) (4) 其中 都是x的函数, C为常数． 证 （2） 因为 所以 又因为 所以 类似地，可证明其他法则. 3．复合函数的微分法则 设复合函数 则 由于 所以上式又可写成 结论 无论 u 是自变量还是中间变量，其微分都可 以表示为 这一性质称为微分形式不变性. 例3 解法一 利用微分的定义，得 解法二 利用微分形式不变性，得 微分在近似计算中的应用 １．利用微分计算函数增量的近似值 由微分的概念可知，当 很小时，有 利用上述公式，可求函数增量的近似值. 例4 有一批半径为１cm的球，为了提高球面的光 洁度，要镀一层铜，厚度为0.01cm．试估计每只球需用 多少克铜（铜的密度为8.9g/cm3）? 解 要求铜的质量，应先求出镀层的体积．因为镀 层的体积等于两个球体积之差， 所以它就是球体体积 时的增量 因为 所以 （cm3）. 于是，镀每只球需用的铜约为 （g）. 2．利用微分计算函数的近似值 很小时，由 得 利用上述公式，可以求函数 在 附近的近 似值． 例5 求 的近似值． 解 因为 所以，利用近似公式得 在公式 中，若 于是， 很小时，有 利用上述公式，可求函数 在 x=0 附近的近似值. 例6 很小时，证明 证 令 则 代入公式 得 例7 70规则： 若一笔钱存入银行的年复利为 则当i