应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏3-1课件.pptVIP

罗必达法则 模块3 导数的应用 3·1 中值定理、罗必达法则 3·2 函数的增减性、函数的极值 3·3 函数的极值与最值 *3·4 边际与弹性 *3·5 曲率 3·1 中值定理、罗必达法则 案例研究 案例3.1 光滑曲线在最高点和最低点的切线： 如 图，曲线弧 上每一点均有连续转动的切线，这样的 曲线称为光滑曲线. 切线自A点开始， 沿曲线弧 连续 转动到B点，观察并分析曲线的切线的变化情况. 当切 线达到曲线的最高点 和最低点 时，切线的斜率是 多 少？ 分析 （1） （2） （3） 抽象归纳 中值定理 罗尔（Rolle）定理 若函数 在闭区间 上 连续，在开区间 内可导， 则在 内至少有一点 使得 几何意义 在 弧上有一点C， 使过C点的切线 平行于AB弦. 推广： 拉格朗日（Lagrange）定理 若函数 在闭区间 上连续，在开区间 内可导，则在 内至少 有一点 使得 问：何时拉格朗日定理成为罗尔定理？ 例1 验证函数 在区间 上满 足拉格朗日定理的条件，并求 的值. 解 （1）因为 为初等函数，且在区 间 上有定义，所以在区间 上连续； （2） 在开区间（－2，3）内存在，所 以函数 在区间 内可导. 所以函数在区间 上满足拉格朗日定理的条件. 由 解得 因为 所以它们都是满足条件的 值. 讨论： 则 ______?若 则 ______? 推论1 若函数 在区间 内的导数恒为零， 则 在区间 内是一个常数. 证 在区间 内任取两点 根据 拉格朗日定理，得 由此，得 0 推论2 若函数 在区间 内可导， 则在区间 内，两个函数至多相差 一个常数， 其中C为某个常数. 柯西（Cauchy）定理 若函数 在闭区 间 上连续，在开区间 内可导，且 则在 内至少有一点 使得 问：若 则上式的结论如何？ 三个定理之间的关系： 例2 分析 此类极限称为 型未定式. 解 罗必达法则 若函数 满足 (1) (2) 在点 的左右近旁可导, (3) 则有 例2 求 解 例3 求 解 例4 解 例5 解 例6 解 例7 解 所以 * *