应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏3-2课件.ppt

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3·2 函数的增减性、曲线的凹性 案例研究 案例3.2 抛体运动的路程与速度:假若在真空中, 把一物体以初速度8m/s垂直向上抛出,试研究该物体的 位移与速度、加速度的关系. 分析 设在 t 时刻物体的位移是 s,则由物理学知 其中取 于是,在 t 时刻,物体的速 度是 加速度是 位移函数 的图像如图所示. 问:位移的变化与速度、加速度有何关系? 结论 (1)物理角度:在区间 内, 是单调增加的,这时速度 在区间 内, 是单调减少的,这时速度 物体达到 最高点时,位移最大,这时速度 加速度 即速度的变化率为负. 问:曲线的性态与导数有何关系? 结论 (2)从几何角度:函数 的图像是凸 的,其上每一点的切线均在曲线的上方. 在上升的曲线弧 上切线的倾斜角都是锐角,斜率为正,即导数 在下降的曲线弧上切线的倾斜角都是钝角,斜率为负, 即导数 在顶点的切线的斜率为 0 ,即导数 二阶导数 说明切线在凸曲线弧 上从左至右转动时,斜率的变化率总为负. 抽象归纳 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数 在区间 上连续,在 内可导,若在 内, 则函数 在 内单调增加 ;若在 内, 则函数 在 内单调 减少. 证 在 上任取两点 在 上应用拉格朗日中值定理,得 单调减少 单调增加 例1 讨论函数 的单调性. 解 在 内, 在 内, 单调减少 单调增加 例2 讨论函数 的单调性. 解 (1)求定义域: (2)求导: 当 时导数不存在; (3)列表讨论: - 0 不存在 + ↘ ↗ 例3 求函数 的单调区 间. 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 (3)列表讨论: x 3 + 0 - 0 + ↗ ↘ ↗ 例4 求函数 的单调区间. 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 得 (3)列表讨论: 0 - 0 + ↘ ↗ 例5 设在 t 年时地球的石油总蕴藏量(包括未被发 现的)为P(单位:桶),并假设没有新的石油产生,问 的符号是正还是负? 解 设石油总蕴藏量P与时间的函数关系为 因为没有新的石油产生,地球的石油是不可再生资源, 随着对石油的消耗,其总量会越来越少,所以 是一单调减少函数. 所以,有 即 的符号为负. 曲线的凹凸性与拐点 观察图中曲线与切线的关系: 定义 设曲线弧的方程为 且曲线弧上的 每一点都有切线. 若在某区间内,该曲线弧上任一点的切 线都位于曲线弧的下方,则称曲线弧在该区间内是凹的; 若该曲线弧上任一点的切线都位于曲线弧的上方,则称 曲线弧在该区间内是凸的. 曲线凹凸性的判别法 设函数 在(a,b)内有 二阶导数. (1)若在(a,b)内, 则曲线在(a,b) 内是凹的; (2)若在(a,b)内, 则曲线在(a,b) 内是凸的. 例6 判定曲线 的凹凸性. 解 (1)求定义域: (2)求导: (3)讨论:当 所 以,曲线在 内是凸的,在 内是凹的. 问:在上图中,点(0,0)是曲线什么点? 定义 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界 点叫做曲线的拐点. 判定:设函数 在点 处连续,在点 的左右 近旁具有二阶导数 或不存在, (1)当 在点 的左右邻域内异号时,点 就是曲线 上的一个拐点; (2)当 在点 的左右邻域内同号时,点 不是曲线 的拐点. 例7 求曲线 的凹凸区间和拐点. 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 x 曲线 (3)列表讨论: 0 (0,1) 1 + 0 - 0 + ︶ 拐点 (0,1) ︵ 拐点 (1,0) ︶ 例8 判断曲线 是否有拐点? 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 (3)讨论:当 时,恒有 即在点 的左右近旁, 的符号相同,因此点 不是曲线的 拐点. 所以,曲线没有拐点. 例9 设P(t)为每日t时刻某公司的股票价格. 如图,分别给出了某两天P(t)的曲线(称为走势曲线),试分别说明该天股票的走势. 曲线为上升的凹曲线,因此 说明该天的股票价格是单调上升的; 说明上升的速度也是单调增加的,即上升的速度越来越快.

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