应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏3-2课件.ppt

3·2 函数的增减性、曲线的凹性 案例研究 案例3.2 抛体运动的路程与速度：假若在真空中， 把一物体以初速度8m/s垂直向上抛出，试研究该物体的 位移与速度、加速度的关系. 分析 设在 t 时刻物体的位移是 s，则由物理学知 其中取 于是，在 t 时刻，物体的速 度是 加速度是 位移函数 的图像如图所示. 问：位移的变化与速度、加速度有何关系？ 结论 （1）物理角度：在区间 内， 是单调增加的，这时速度 在区间 内， 是单调减少的，这时速度 物体达到 最高点时，位移最大，这时速度 加速度 即速度的变化率为负. 问：曲线的性态与导数有何关系？ 结论 （2）从几何角度：函数 的图像是凸 的，其上每一点的切线均在曲线的上方. 在上升的曲线弧 上切线的倾斜角都是锐角，斜率为正，即导数 在下降的曲线弧上切线的倾斜角都是钝角，斜率为负， 即导数 在顶点的切线的斜率为 0 ，即导数 二阶导数 说明切线在凸曲线弧 上从左至右转动时，斜率的变化率总为负. 抽象归纳 函数的单调性 函数单调性的判别法 设函数 在区间 上连续，在 内可导，若在 内, 则函数 在 内单调增加 ；若在 内, 则函数 在 内单调 减少． 证 在 上任取两点 在 上应用拉格朗日中值定理，得 单调减少 单调增加 例1 讨论函数 的单调性. 解 在 内, 在 内, 单调减少 单调增加 例2 讨论函数 的单调性. 解 （1）求定义域： （2）求导： 当 时导数不存在； （3）列表讨论： － 0 不存在 + ↘ ↗ 例3 求函数 的单调区 间. 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 （3）列表讨论： x 3 + 0 － 0 + ↗ ↘ ↗ 例4 求函数 的单调区间. 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 得 （3）列表讨论： 0 － 0 + ↘ ↗ 例5 设在 t 年时地球的石油总蕴藏量（包括未被发 现的）为P（单位：桶），并假设没有新的石油产生，问 的符号是正还是负？ 解 设石油总蕴藏量P与时间的函数关系为 因为没有新的石油产生，地球的石油是不可再生资源， 随着对石油的消耗，其总量会越来越少，所以 是一单调减少函数. 所以，有 即 的符号为负. 曲线的凹凸性与拐点 观察图中曲线与切线的关系： 定义 设曲线弧的方程为 且曲线弧上的 每一点都有切线. 若在某区间内，该曲线弧上任一点的切 线都位于曲线弧的下方，则称曲线弧在该区间内是凹的； 若该曲线弧上任一点的切线都位于曲线弧的上方，则称 曲线弧在该区间内是凸的. 曲线凹凸性的判别法 设函数 在（a，b）内有 二阶导数. （1）若在（a，b）内， 则曲线在（a，b） 内是凹的； （2）若在（a，b）内， 则曲线在（a，b） 内是凸的. 例6 判定曲线 的凹凸性. 解 （1）求定义域： （2）求导： （3）讨论：当 所 以，曲线在 内是凸的，在 内是凹的. 问：在上图中，点（0，0）是曲线什么点？ 定义 连续曲线上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界 点叫做曲线的拐点. 判定：设函数 在点 处连续，在点 的左右 近旁具有二阶导数 或不存在， （1）当 在点 的左右邻域内异号时，点 就是曲线 上的一个拐点； （2）当 在点 的左右邻域内同号时，点 不是曲线 的拐点. 例7 求曲线 的凹凸区间和拐点. 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 x 曲线 （3）列表讨论： 0 （0，1） 1 + 0 － 0 + ︶ 拐点 （0，1） ︵ 拐点 （1，0） ︶ 例8 判断曲线 是否有拐点？ 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 （3）讨论：当 时，恒有 即在点 的左右近旁， 的符号相同，因此点 不是曲线的 拐点. 所以，曲线没有拐点. 例9 设P(t)为每日t时刻某公司的股票价格. 如图，分别给出了某两天P(t)的曲线（称为走势曲线），试分别说明该天股票的走势. 曲线为上升的凹曲线，因此 说明该天的股票价格是单调上升的； 说明上升的速度也是单调增加的，即上升的速度越来越快.