应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏3-3课件.ppt

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3·3 函数的极值与最值 案例研究 案例3.3.1 易拉罐的设计:企业在设计易拉罐时,为了用最小的成本获得最大的利润,需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题. 测量一个你身边的易拉罐,分析它的设计是否达到了企业的期望,如果没有达到,请你改进. 案例3.3.2 面包价格的确定:某职业院校为了培养学生的创业能力,鼓励毕业学年的学生在校园里开展各 种营销活动. 为了探索创业途径,学生蔡明利用业余时间在学院内的一家面包销售点打工. 经过一段时间统计,他发现某种面包以每块2元的 价格销售时,每天能卖掉500块;若价格每提高1角,每天就会少卖掉10块. 另外,面包点每天的固定开销为40元,每块面包的成本为1.5元. 此后,蔡明决定独自经营该面包销售点. 问:蔡明怎样确定面包的价格,才能使获得的利润最大? 抽象归纳 在生产实际中,往往遇到求在一定条件下怎样使材料最省,或成本最低,或投资最少,或效益最高等方面的问题. 它们在数学上,都可以归结为求函数的最大值和最小值问题. 函数的极值 讨论:观察图中 处函数值情况,它们 有何特点? 极值的定义 设函数 在区间 (a,b)内有定义, 是(a,b)内的一个点. 若对于点 左右近旁内的任 何点x( ),都有 则称 是函数 的一个极大值, 点 叫做 的一个极大值点; 若对于点 左右近旁内的任何点 x( ),都有 则称 是函数 的一个极小值,点 叫做 的一个极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 极值的必要条件 若函数 在点 可导,且在 点 取得极值,则函数在点 的导数 使函数的导数为零的点叫做函数的驻点(或稳定点). 讨论:可导函数的驻点一定是它的极值点吗?试举例说明. 讨论:若函数在某点连续,但没有导数,函数在该点可以取极值吗? 结论 函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点 取得. 问:极值存在的充分条件是什么? 极值的第一充分条件 设函数 在点 处连 续,在点 的左右近旁可导. 极大值. (1)若当x取 左侧邻近的值时, 当 x取 右侧邻近的值时, 则函数 在点 取得 极小值. (2)若当x取 左侧邻近的值时, 当 x取 右侧邻近的值时, 则函数 在点 取得 (3)若当x取 左右两侧邻近的值时, 不改变 符号,则函数 在点 没有极值. 证 当x取 左侧邻近的值时, 根据函 数单调性的判定法,函数 在 左侧邻近是单调 增加的,所以 当x取 右侧邻近的值时, 函数 在 右侧邻近是单调减少的,所 以 因此, 是 的一个极大值. 类似地,可证明(2)和(3). 例1 求函数 的极值. 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 得驻点 (3)列表讨论: ↗ 极小值 -6 ↘ 极大值 21 ↗ + 0 - 0 + 1 (-2,1) -2 例2 求函数 的极值. 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 得驻点 (3)列表讨论: ↗ ↗ 极小值0 ↘ ↘ + 0 + 0 - 0 - 1 (0,1) 0 (-1,0 ) -1 x 例3 求函数 的极值. 解 (1)求定义域: (2)求导: 令 得驻点 当 时,导数不存在. (3)列表讨论: ↗ ↘ 极大值0 ↗ + 0 - 不存在 + 1 (0,1) 0 x 极小值 讨论:(1)若 为极值,则 的符号是正 还是负? 极值的第二充分条件 在点 处具有 设函数 二阶导数且 (1)若 则函数 在 处取得极小值. (2)若 则函数 在 处取得极大值. 讨论 当 且 时, 为极 值吗?试举例说明. 例4 求函数 在区间 上的极值. 解 令 得 又 函数的最大值和最小值 讨论 若函数 在[a,b]上连续,则其最大值和 最小值只能在何处取得? 结论 只能在驻点、导数不存在的点和端点取得. 求最值的步骤: (1)求函数 的导数,并求出所有的驻点和导 数不存在的点. (2)求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值. (3)比较上述各函数值的大小,其中最大的就是 在闭区间[a,b]上的最大值,最小的就是最小值. 例5 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值. 解 (1)求导数: 令 (2)求端点及各驻点的函数值: (3)比较:最大值 最小值为 讨论 结合下图讨论:若函数在开区间(a,b)内只有惟一极大(小)值,是

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