应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏3-3课件.ppt

3·3 函数的极值与最值 案例研究 案例3.3.1 易拉罐的设计：企业在设计易拉罐时，为了用最小的成本获得最大的利润，需要考虑在体积一定的情况下用料最省的问题. 测量一个你身边的易拉罐，分析它的设计是否达到了企业的期望，如果没有达到，请你改进. 案例3.3.2 面包价格的确定：某职业院校为了培养学生的创业能力，鼓励毕业学年的学生在校园里开展各 种营销活动. 为了探索创业途径，学生蔡明利用业余时间在学院内的一家面包销售点打工. 经过一段时间统计，他发现某种面包以每块2元的 价格销售时，每天能卖掉500块；若价格每提高1角，每天就会少卖掉10块. 另外，面包点每天的固定开销为40元，每块面包的成本为1.5元. 此后，蔡明决定独自经营该面包销售点. 问：蔡明怎样确定面包的价格，才能使获得的利润最大？ 抽象归纳 在生产实际中，往往遇到求在一定条件下怎样使材料最省，或成本最低，或投资最少，或效益最高等方面的问题. 它们在数学上，都可以归结为求函数的最大值和最小值问题. 函数的极值 讨论：观察图中 处函数值情况，它们 有何特点？ 极值的定义 设函数 在区间 （a，b）内有定义， 是（a，b）内的一个点. 若对于点 左右近旁内的任 何点x（ ），都有 则称 是函数 的一个极大值， 点 叫做 的一个极大值点； 若对于点 左右近旁内的任何点 x（ ），都有 则称 是函数 的一个极小值，点 叫做 的一个极小值点. 函数的极大值与极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点. 极值的必要条件 若函数 在点 可导，且在 点 取得极值，则函数在点 的导数 使函数的导数为零的点叫做函数的驻点（或稳定点）. 讨论：可导函数的驻点一定是它的极值点吗？试举例说明. 讨论：若函数在某点连续，但没有导数，函数在该点可以取极值吗？ 结论 函数的极值只可能在驻点或导数不存在的点 取得. 问：极值存在的充分条件是什么？ 极值的第一充分条件 设函数 在点 处连 续，在点 的左右近旁可导. 极大值. （1）若当x取 左侧邻近的值时， 当 x取 右侧邻近的值时， 则函数 在点 取得 极小值. （2）若当x取 左侧邻近的值时， 当 x取 右侧邻近的值时， 则函数 在点 取得 （3）若当x取 左右两侧邻近的值时， 不改变 符号，则函数 在点 没有极值. 证 当x取 左侧邻近的值时， 根据函 数单调性的判定法，函数 在 左侧邻近是单调 增加的，所以 当x取 右侧邻近的值时， 函数 在 右侧邻近是单调减少的，所 以 因此， 是 的一个极大值. 类似地，可证明（2）和（3）. 例1 求函数 的极值. 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 得驻点 （3）列表讨论： ↗ 极小值 －6 ↘ 极大值 21 ↗ + 0 － 0 + 1 （－2，1） －2 例2 求函数 的极值. 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 得驻点 （3）列表讨论： ↗ ↗ 极小值0 ↘ ↘ + 0 + 0 － 0 － 1 （0，1） 0 （－1，0 ） －1 x 例3 求函数 的极值. 解 （1）求定义域： （2）求导： 令 得驻点 当 时，导数不存在. （3）列表讨论： ↗ ↘ 极大值0 ↗ + 0 － 不存在 + 1 （0，1） 0 x 极小值 讨论：（1）若 为极值，则 的符号是正 还是负？ 极值的第二充分条件 在点 处具有 设函数 二阶导数且 （1）若 则函数 在 处取得极小值. （2）若 则函数 在 处取得极大值. 讨论 当 且 时， 为极 值吗？试举例说明. 例4 求函数 在区间 上的极值. 解 令 得 又 函数的最大值和最小值 讨论 若函数 在[a，b]上连续，则其最大值和 最小值只能在何处取得？ 结论 只能在驻点、导数不存在的点和端点取得. 求最值的步骤： （1）求函数 的导数，并求出所有的驻点和导 数不存在的点. （2）求各驻点、导数不存在的点及各端点的函数值. （3）比较上述各函数值的大小，其中最大的就是 在闭区间[a，b]上的最大值，最小的就是最小值. 例5 求函数 在闭区间 上的最大值和最小值. 解 （1）求导数： 令 （2）求端点及各驻点的函数值： （3）比较：最大值 最小值为 讨论 结合下图讨论：若函数在开区间（a，b）内只有惟一极大（小）值，是