应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏4-1课件.pptVIP

模块4 不定积分 4·1 不定积分的概念 4·2 不定积分的基本公式与运算法则、直接积分法 4·3 不定积分的换元积分法与分部积分法 4·1 不定积分的概念 案例研究 案例4.1 悬崖的高度：李明站在河边山崖的顶上问王英：“你能量出它的高度吗？”王英想了想，说：“要量它有困难，但我可算出它的高度！”说完，王英捡了一块石头：“你来计时，我把石头丢下去后，看它落到水面时花了多少时间. ”李明在王英将石头丢出的瞬间开始计时，在第5秒时看到石头落到水面上. 王英说：“因为我知道自由落体运动的加速度大约是10，所以现在我可以算出悬崖的高度了. ”请问：王英是怎样计算的呢？ 分析 设路程函数为 显然，若能求得路程 函数的表达式，则可计算出悬崖的高度. ·以前的问题： ·相反的问题： （1） （2） 抽象归纳 原函数的概念 定义 设 是定义在某区间上的已知函数，若存 在一个函数 对于该区间上的每一点x都满足 则称函数 在该区间上的一个原函数. 例 因为 所以 是 的一 个原函数． 的原函数 的原函数 的原函数 的原函数 原函数具有下述性质： 性质1　若函数 有原函数，则它就有无数多个 原函数． 　证　设函数 是函数 的一个原函数，即， 并设C为任意常数．因为 所以 也是 的原函数. 又因为C为任意常 数，即C可以取无数多个值， 所以 有无数多个原函 数． 性质2　函数 的任意两个原函数的差是一个常 数． 证　设 都是 的原函数，即 于是 根据导数恒为零的函数必为常数，可知 （C为任意常数）， 即 结论 若 是 的一个原函数，则 就 有无数多个原函数，并且任意一个原函数都可以表示为 （C为某常数 ）的形式. 也就是说， （C为任意常数）就是函数 的全部原函数 不定积分的定义 定义 函数 的全部原函数叫做 的不 定积分，记作 其中“ ”称为积分号， 称为被积函数， 称为被积表达式， x称为积分变量. 即 其中C是任意常数，称为积分常数． 注：“ ”是sum第一个字母S的拉长，下一模块 中我们会知道，它表示求和的意思。 例 不定积分也简称为积分． 把求不定积分的运算和方 法分别称为积分运算和积分法． 例1 求下列不定积分： （1） （2） 解　（1）因为 所以 （2）因为 ，所以 例2 用微分法验证等式： 解　因为 所以 不定积分的两条基本性质： （1） 证 设 则 将上式两边对x求导数，得 又根据微分的定义，得 （2） 或 证 因为 所以 又根据微分的定义，得 问：由以上两点，我们能发现什么？ 结论 微分运算与积分运算是互逆的. 若对一个函数先积分再微分，则两者的作用互相抵消. 反过来，若先微分再积分，则抵消后只差一个常数. 问：不定积分的几何意义是什么？ 例3 已知某曲线经过点 且其上任意一点 处的切线的斜率等于2x，求此曲线的方程． 解　设 则 把 代入 中，得 于是所求 曲线的方程是 几何解释： 定义 函数 的一个原函数 的图像叫做函 数 的积分曲线． 结论 不定积分 在几何上表示由积分曲 线 沿y轴上下平移而得到的一族曲线（称为积 分曲线族）． 案例4.1的解 （1）因为 所以 是10的 一个原函数. 因此 又当 时， 代入上式， 得 于是，所 求速度函数为