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4·2 不定积分的基本公式与运算法 则、直接积分法 案例研究 案例4.2 列车的制动点： 列车快进站时必须制动减 速．若列车制动后的速度为 （kg/min），问列 车应该在离站台停靠点多远的地方开始制动？ 分析 令 得 即 3 分钟后列 车停下来. 设列车从制动点开始计算所运行的路程为s， 则 若我们能求出上述不定积分，则可得运动方程 于是，将 代入该方程，可求得制动点的距离为 因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题. 抽象归纳 不定积分的基本公式 类似地，可以推导出其他基本积分公式： 问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？ 讨论 当 时，有 当 时，也有 所以 是 的原函数. 例1 求下列不定积分： （1） （2） （3） 解 （1） （2） （3） 不定积分的基本运算法则 法则１ 两个函数代数和的不定积分等于各个函数 的不定积分的代数和，即 法则2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积 分符号外面，即 例2 求 解 问：最后的结果为什么只写一个任意常数？ 直接积分法 定义 直接用积分基本公式与运算性质求不定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变 形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不 定积分的方法叫做直接积分法． 例3 求 解 例4 求 解 例5 求 解 利用降幂公式化简. 案例4.2的解 求积分，得 依题意，当 时， 代入上式，得 于是， 得 将 代入上式，得 即列车在离站台1.5公里处开始制动. 例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化 率模型为 （也称边际需求），其中p 表示商品的价格，求这种商品的需求函数. 解
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