应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏5-2课件.pptVIP

5·2 微积分基本公式 案例研究 案例5.2 导弹的行程：某种导弹的飞行速度为 （m/s）， （1）用定积分表示导弹在时间区间 内所飞行 的路程. （2）用不定积分计算导弹在时间区间 内所飞 行的路程. 分析 （1）一方面，路程可表示为 （2）另一方面，由速度与路程的关系得 当 时， 代入上式，得 于是，得 因此，导弹在时间区间 内所飞行的路程为 综合起来，可得以下关系 其中 即 是 的原函数. 猜想：对于一般的连续函数 若 是否有 成立呢？ 抽象归纳 积分上限的函数 表示阴影部分的面积: 上述函数称为积分上限的函数. 积分上限函数的导数 微积分基本定理　若函数 在区间 上连 续，则函数 在区间 上可导，且 它的导数就是 即 证 因为 连续，所以由积分中值定理，有 其中 介于x与 之间. 于是 由 的连续性，并注意到当 时，有 得 原函数存在定理 若函数 在闭区间 上 连续，则函数 在 上的原函数一定存在. 微积分基本公式 定理　设函数 在 上连续，且 是 在 上的一个原函数，则 证　因为 是 的一个原函数，又由定理2 可知，函数 也是 的一个原函数，所以 令 得 所以 于是，得 令 得 即 上式称为牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式，也叫微积分基本公式． 通常记为 或 上述公式 也可以写成 例1 计算 解　因为 所以 是 的一 个原函数，所以 例2 计算 解　因为 所以 是 的一 个原函数，所以有 例3 计算 解 例4 计算 解 案例5.1的解 所以，窗户的采光面积为