应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏5-3课件.pptVIP

5·3 定积分的计算方法 案例研究 案例5.3.1 放射物的泄漏：环保局近日对一起放射性碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日，大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保局下令当地居民立即撤离这一地区. 已知碘物质放射源的辐射水平是按 的速度衰减的，其中R是t时刻的辐射水平（单位：mR/h）， 是初始（t=0）时的辐射水平，t是时间（单位：h）. （1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？ （2）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少？ 分析 （1）设降低到辐射水平需要 小时，此时辐 射水平为 的四分之一. 于是，得 解得 （2）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h， 所以在 时的辐射水平为2.4毫伦琴/h，即 设泄露出去的放射物总量为W，则有 案例5.3.2 石油总产量：经济学家研究一口新井的 原油生产速度时，建立了下列数学模型 求该油井开始3年内生产的石油 总量. 分析 设开始3年内生产的石油总量为W，则有 上述两个案例中的定积分没有直接可用的公式，需 要通过换元积分法或分部积分法求解. 抽象归纳 定积分的换元积分法 设函数 在 上连 续，令 且满足： （1） （2） 当 从 变化到 时， 单调地从 a变化到 b; （3） 在 上连续， 则有定积分的换元公式 证　设 是 的一个原函数，则 根据复合函数的求导法则，有 因此，有 所以 例1　计算 解　令 则 且 当 时， 当 时， 于是 例2　计算 　解　令 则 且当 时， 时， 于是 例3 求定积分 解 讨论：为什么后面的解法不需要换限？ 案例5.3.1的解 答：已经泄漏出去的放射物的总量是450毫伦琴. 定积分的分部积分法 设函数 与 在区间 上有连续的导数，则 或简写成 上列公式称为定积分的分部积分公式. 证　因为 两边分别求在区间[a，b]上的定积分，得 即 移项，得 例4 计算 解 案例5.3.2的解 答：该油井开始3年内生产的石油总量约为3.0095.