应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏5-4课件.pptVIP

5·4 反常积分 案例研究 案例5.4 传染病分析：某种传染病在流行期间人们 被传染患病的速度可以近似地表示为 这里r的单位是人/天，t为传染病开始流行的天数. 如果 不加控制，最终将会传染多少人？ 分析 依题意， 已知速度求总量，就 是求速度函数在区间 上的积分 先求到第b天时传染的人数，即求速度函数在区间 上的定积分 再令 得 其中： 答：如果不加控制，最终将会传染到375000人. 抽象归纳 积分区间为无穷区间 定义1 设函数 在区间 上连续，任取 若极限 存在，则称此极限为函 数 在无穷区间 上的反常积分，记作 即 这时也称反常积分 收敛； 若上述极限不存 在，则称反常积分 发散． 定义2 设函数 在区间 上连续，任取 若极限 存在，则称此极限为函 数 在无穷区间 上的反常积分， 即 这时也称反常积分 若上述极限不存 在，则称反常积分 发散． 记作 收敛； 定义3 若反常积分 都收敛，则称 为 在无穷 区间 上的反常积分，记作 即 这时也称反常积分 收敛； 至少有一个发散，则称反常 积分 发散． 上述三类反常积分统称积分区间为无穷的反常积分. 若 例1 求 　解 上述反常积分的几何意义是：它表示由曲线 和直线 围成的“开口”曲边梯形的 面积（图5-8）等于 若 的原函数为 则 若记 则三种无限区间的反常积分可形式上写成 例2 求 解 因为 且 即 发散，所以 发散． 例3 讨论反常积分 的收敛性． 解　当 时， 当 时， *被积函数有无穷间断点 定义4 设函数 在区间 上连续，且 取 若极限 存在， 则称此极限为函数 在 上的反常积分，记作 即 这时也称反常积分 收敛； 反常积分 发散． 这里的点 称为函数 的瑕点，这类反常积 分也称为瑕积分. 若极限不存在，则称 定义5 设函数 在区间 上连续，且 取 若极限 存在， 则称此极限为函数 在 上的反常积分， 即 这时也称反 常积分 收敛； 发散． 记作 若极限不存在，则称反常积分 定义 6 设 函 数 在 区 间 上 除 点 外连续，且 取 若极限 都 存 在 ， 则 称 为函数 在 上的反常积分， 记作 即 这 时 也 称 反 常 积 分 收 敛 ； 中至少有一个不存 在，则称反常积分 发散． 若 例4　计算 解 上述反常积分的几何意义是：