应用高等数学电子教案教学课件作者曾庆柏5-5课件.ppt

例8 把一个带电量为+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场．电场中距离原点O为r的地方有一个单位正电荷（图5-27）．当这个单位正电荷在电场中从点a处沿r轴移动到点b（ab）处时，计算电场力F对它所作的功． 解 （k为常数）. 于是，所求的功为 （J）． *液体的压力 问题的提出：由物理学知道，一水平放置在液体中的薄片，若其面积为A，距离液体表面的深度为h，则该薄片一侧所受的压力P等于以A为底，h为高的液体柱的重量，即 其中 为液体的密度，g为重力加速度． 如图，有 一 块 形 状 似 曲 边 梯 形（曲线方程为 ）的平面薄片，铅直地放置在液体中（液体密 度为 ），最上端的一边平行于液面并与液面的距离为a， 最下端的一边平行于液面并与液面的距离为b，怎样求该 薄片一侧所受的压力呢？ 液体压力的计算公式 小条块上受到的压力等于 即压力微元为 于是，所求薄片一侧所受的压力为 例9 设一水平放置的水管，其断面是直径为6m的圆，求当水半满，水管一端的竖立闸门上所受的压力． 解 如图，圆的方程为 取x为积分变量，积分区间为 于是竖立闸门上所 受的压力为 *经济应用问题 例10 已知某工厂生产某产品的边际成本为 （百元/吨）. 试求产量从1吨增加到5吨时总成本的增量. 解 （百元）. 例11 已知某商场销售某商品的边际收入为 （元/kg），边际成本为 （元 /kg），又固定成本C0=2000，求总成本函数、总收入 函数及总利润函数. 5·5 定积分的应用 案例研究 案例5.5 游泳池的表面面积： 一个工程师用CAD 设计一游泳池，游泳 池的表面由曲线 和直线 （单位： m）围成（图5-10），试求游泳池的表面面积. 分析 （1） （2）由图知 综上，得游泳池平面图形的面积为 答：游泳池的表面面积约为77.2613 抽象归纳 平面图形的面积 （1）由连续曲线 与直线 所围成的平面图形的面积． 若 则面积 若 则面积 若 在 上有时取正值，有时取负值（如图）， 则面积 讨论：定积分 一定表示面积吗？ 定积分的几何意义 定积分 表示由 与直线 所围成的曲边梯 形面积的代数和. （2）由曲线 与直线 所围成的平面图形的面积. （ 3 ）由 曲 线 与 直 线 所围成的平面图形的面积. （4）由连续曲线 与直线 所围成的平面图形的面积为 例1 求抛物线 和直线 所围成 的图形的面积. 解 解方程组 例2 求椭圆 的面积． 解　由 得 所以，椭圆的面积 令 得 故所求椭圆的面积为 特别，当 时，得圆的面积公式： 例3 求由抛物线 与直线 所围成 图形的面积. 解 旋转体的体积 问题的提出：如图，设 是 上的连续函数， 由曲线 与直线 围成的曲边梯形 绕x轴旋转一周，得到一个旋转体，怎样求这个旋转体的 体积？ 体积公式1 如图，夹在两个截面之间的“小薄片” 可以近似地看作一个以 为底面半径、 为高的圆 柱体．其体积为 叫做体积微元. 把体积微元在 上求定积分，便 得到所求旋转体的体积： 体 积 公 式 2 由 曲 线 与 直 线 所围成的曲边梯形绕y轴旋 转一周而得到的旋转体的体积为 例4 证明：底面半径为r，高为h的圆锥体的体积 为 证　直线OA的方程为 于是，所求体积为 例5 求椭圆 绕x轴旋转 一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的体积． 解 旋转椭球体的体积为 因此，所求椭球体的体积为 特别地， 当 时，旋转椭球体就变成了半径为a的球体，其体 积为 问题的提出：设函数 在 上具有一阶连 续导数，计算曲线 上从a到b的曲线弧的弧长． *平面曲线的弧长 弧长的计算公式 在 上 任 取 一 小 区 间 其对应的曲线弧为 对应的弧微分为 由模块3.5，有 对 在区间 上求定积分，便得到所求弧长为 例6 求曲线 上从 到 之间的一 段弧的长度． 解　求导，得 于是，得所求弧长为 *变力沿直线所作的功 问题的提出：由物理学知道，物体在常力F的作用下沿力的方向作直线运动，当物体移动一段距离s时，力F所作的功为 如图，设物体受到一个水平方向的力F的作用而沿水平方向作直线运动，已知在x轴上的不同点处，力F的大小不同，即力F是x的函数，记为 当物 体在这个变力F的作用下，由点a移动到点b时，求变力F所作的功. 变力作功的计算公式 在区间 上任取一个小 区间