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模块7 微分方程 7·1 微分方程的概念 7·2 一阶微分方程 7·3 二阶常系数线性微分方程 7·1 微分方程的概念 案例研究 案例7.1 列车的制动方程:在直线轨道上,以 的速度行驶的列车,制动获得的加速度为 求开始制动后列车的运动方程. 分析 设列车的运动方程为 则列车运动的 速度为 加速度为 于是, 应满足方程 (1) 此外,还应满足条件 对(1)式两端积分,得 都是任意常数. 将条件 依次代入以上两式,得 所以,所求 列车的运动方程是 抽象归纳 微分方程的定义 含有未知函数的导数或微分的方 程叫做微分方程. 例 问:上述各方程中,所出现的最高阶数是多少? 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最 高阶导数的阶数叫做微分方程的阶. 讨论:你能说出上述各方程的阶数吗? 一般地,n阶微分方程可表示为 其中 是 个变量的函数. 讨论:在上述方程中, 必须出现吗?为什么? 微分方程的解 若将一个函数代入微分方程中,使 方程成为恒等式,则称这个函数是该微分方程的解. 例 在案例7.1中,函数 ( 为任意常数) 都是微分方程 的解. 问:上述两个解有什么区别? 若微分方程的解中含有任意常数,且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同,则这样的解叫做微分方程的通解. 例 函数 ( 为任意常数) 是 的通解. 讨论 (1) 中有几个本质的任意常 数? (2)方程 中本质上 有几个任意常数? 若微分方程的一个解不含任意常数,则称这个解是微分方程在某一特定条件下的解,简称为特解. 例 函数 的特解. 确定特解的条件叫做初始条件. 例 案例7.1中的 是初始条 件. 求微分方程的解的过程叫做解微分方程. 注意 若不特别声明,也没有给出初始条例,解微 分方程就是求微分方程的通解. 例1 验证:函数 是微分方 程 的解. 解 代入微分方程,得 所以, 是所给微分方程的解. 例2 解微分方程 解 对方程两端积分,得 所以,所求微分方程的通解为 例3 解微分方程 解 对方程两端积分,得 即 将初始条件 代入上述通解中,得 所以, 满足初始条件的特解为 例4 求过(1,2)点,且在曲线上任一点M(x,y) 处的切线斜率等于 的曲线方程. 解 设所求曲线的方程为 则 初始条件 对微分方程两端积分,得 即 由初始条件,得 所以,所求曲线的方程为
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