2016年中考证明专题练练.ppt

25．（2012?广西）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）如图AD=5，AE=4，求⊙O的直径． 2016年中考专题训练 (1)证明：连接OD，如图所示： ∵AD为∠CAB的平分线， ∴∠CAD=∠BAD， 又OA=OD， ∴∠BAD=ODA， ∴∠CAD=∠ODA， ∴AC∥OD， ∴∠E+∠EDO=180°， 又AE⊥ED，即∠E=90°， ∴∠EDO=90°， 则OD为圆O的切线； (2)解：连接BD，如图所示， ∵AB为圆O的直径， ∴∠ADB=90°， 在Rt△ABD中，cos∠DAB= ， 在Rt△AED中，AE=4，AD=5， ∴cos∠EAD= = ，又∠EAD=∠DAB， ∴cos∠DAB=cos∠EAD= = ， 则 AB= AD= ， 即 圆的直径为 ． 26．（2012?广西）已知抛物线y=ax2+2x+c的图象与x轴交于点A（3，0）和点C，与y轴交于点B（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上 找一点D，使得点D到点B、 C的距离之和最小，并 求出点D的坐标； （3）在第一象限的抛物线 上，是否存在一点P，使得 △ABP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵抛物线y=ax2+2x+c的图象经过点A（3，0）和点B（0，3）， ∴ 解得a=﹣1，c=3， ∴抛物线的解析式为： ? y=﹣x2+2x+3． （2）对称轴为x= =1， 令y=﹣x2+2x+3=0， 解得x1=3，x2=﹣1， ∴C（﹣1，0）． 如图1所示，连接AB，与对称轴x=1的交点即为所求之D点，由于A、C两点关于对称轴对称，则此时DB+DC=DB+DA=AB最小． 设直线AB的解析式为y=kx+b， 由A（3，0）、B（0，3）可得 解得k=﹣1，b=3， ∴直线AB解析式为y=﹣x+3． 当x=1时，y=2， ∴D点坐标为（1，2）． （3）结论：存在． 如图2所示，设P（x，y）是第一象限的抛物线上一点,过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y,AN=OA﹣ON=3﹣x. S△ABP=S梯形PNOB+S△PNA﹣S△AOB = （OB+PN）?ON + PN?AN﹣ OA?OB = （3+y）?x + y?（3﹣x）﹣ ×3×3 = （x+y）﹣ ∵P（x，y）在抛物线上，∴y=﹣x2+2x+3，代入上式得 S△ABP= （x+y）﹣ =﹣ （x2﹣3x）=﹣ （x﹣ ）2+ ∴ 当x= 时，S△ABP取得最大值． 当x= 时，y=﹣x2+2x+3= ，∴P（ ， ）． 所以，在第一象限的抛物线上，存在一点P，使得△ABP的面积最大；P点的坐标为（ ， ）．