21.2.4-一元二次方程-根与系数的关系.ppt

4、求一个一元二次方程，使它的两个 根分别为①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2 ①(x-2)(x-3)=0 新课讲解 如果方程x2+px+q=0有两个根是x1,x2 那么有x1+ x2=-p, x1 ?x2=q 推导: 练习：方程x2?(m?1)x?2m?1?0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？ 解:??(m?1)2?4(2m?1)?m2?6m?5 ①∵两根互为相反数 ∴两根之和m?1?0,m??1,且??0 ∴m??1时,方程的两根互为相反数. ②∵两根互为倒数 ??m2?6m?5, ∴两根之积2m?1?1 m?1且??0, ∴m?1时,方程的两根互为倒数. ③∵方程一根为0, ∴两根之积2m?1?0 且??0, ∴ 时,方程有一根为零. 引申:1、若ax2?bx?c?0 (a?0 ??0) （1）若两根互为相反数,则b?0; （2）若两根互为倒数,则a?c; （3）若一根为0,则c?0 ; （4）若一根为1,则a?b?c?0 ; （5）若一根为?1,则a?b?c?0; （6）若a、c异号,方程一定有两个实数根. * * * 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的一般形式是什么？ 3.一元二次方程的根的情况怎样确定？ 2.一元二次方程的求根公式是什么？ x2-5x+6=0 x2-3x-28=0 ③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0 ④(x+5)(x+2)=0 ②(x+4)(x-7)=0 x2+7x+10=0 问题1：从求这些方程的过程中你发现根 与各项系数之间有什么关系？ 猜想：2x2-5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积是与各项系数之间有什么关系？ 问题2；对于一元二次方程的一般式是否也具备这个特征？ x2=1 解得：x1= 所以得到,x1+x2= x1 ?x2= 填写下表： a与c之间关系 a与b之间关系 两根之积 两根之和 两个根 方程 猜想： 如果一元二次方程 的两个根 分别是 、 ，那么，你可以发现什么结论？ 已知：如果一元二次方程 的两个根分别是 、 。 求证： 如果一元二次方程 的两个根分别是 、 ，那么： 这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。 一元二次方程的根与系数的关系 16世纪法国最杰出的数学家韦达发现 代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。 1. 3. 2. 4. 5. 口答下列方程的两根之和与两根之积。 练习：下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？ 返回 例1：已知 是方程 的两个实数根，求 的值。 解： 根据根与系数的关系: 例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（1）平方和；（2）倒数和 解：设方程的两个根是x1 x2，那么 返回 例1. 不解方程，求方程 的 两根的平方和、倒数和。（解法如上） 用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值 求与方程的根有关的代数式的值时, 一般先将所求的代数式化成含两根之和, 两根之积的形式,再整体代入. 例如：已知方程 x2＝2x＋1的两根为x1,x2， 不解方程，求下列各式的值。 （1）（x1－x2）2 （2）x13x2＋x1x23 （3） 1、如果-1是方程2X2－X+m=0的一个根，则另 一个根是___，m =____。 2、设 X1、X2是方程X2－4X+1=0的两个根，则 X1+X2 = ___ ,X1X2 = ____， X12+X22 = ( X1+X2)2 - ___ = ___ ( X1-X2)2 = ( __