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数学活动新课导入导入课题 老师在黑板上画1个点,说明点是几何中最基本的图形,许多点排列起来可以构成一个点阵,点阵是非常有趣的图形.活动目标 (1)通过观察点阵(数学模型),了解并掌握一些点阵及数学模型的变化规律. (2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式. (3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题. (4)通过活动,培养学生的观察、比较、归纳和概括能力,培养学生的空间想象能力.(2)探究三角点阵中前n行的点数和的计算公式.活动重点 (3)运用一元二次方程的知识和三角点阵中前n行的点数和的计算公式解决问题.活动难点推进新课····························……三角形点阵活 动 1 图1是一个三角形点阵,从上向下数有无数多行,其中第一行有1个点,第二行有2个点……第n行有n个点…….观察图形,完成下面各题.图 1①下表是该点阵前n行的点数和,请你按要求把它填写完整前n行数12345…10…n点数和36……1101555②若该三角点阵前n行的点数和是300,求行数n. 由①知.前n行的点数和为 ,解得n1=24,n2=-25(舍去),即行数n为24. ③该三角点阵前n行的点数和能是600吗?如果能,求出其行数n;如果不能,请说明理由. 前n行的点数和 ,解得n1= , n2= ,因为n是正整数,方程的两根均不符合条件,所以三角点阵前n行的点数和不能是600. ④如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为2,4,6,…,2n,…,你能探究出前n行的点数和满足什么规律吗?前n行的点数和为 ⑤在④中,三角点阵中前n行的点数和能是600吗?如果能,求出n;如果不能,试用一元二次方程说明道理.依题意,n(n+1)=600.解得n1=24,n2=-25(舍去).活 动 2正六边形点阵····························································· 如图2 是一个形如正六边形的点阵,它的中心是一个点,算作第一层第二层每边有两个点,第三层每边有三个点,……,依此类推.图 2①填写下表:层 数1234…该层对应的点数所有层的总点数161218…171937…6(n-1)②写出第n层所对应的点数(n≥2)③写出n层正六边形点阵的总点数(n≥2); 1+6×1+6×2+…+6(n-1)=1+6·=1+3n(n-1)④如果点阵中所有层的总点数为331,请求出它共有几层? 1+3n(n-1)=331化简方程为:n2-n-110=0分解因式为:(n-11)(n+10)=0 解得:n1=11,n2=-10(舍去),所以:它共有11层.⑤ 点阵设计大赛: 设计时间:5分钟. 设计要求: a .每人设计一组有规律、美观的点阵图,画出前4个点阵,并仿照三角形点阵的探究提出问题,然后在小组内交流自己的设计方案. b.每组评选出优秀作品,派代表说明设计的方法及点阵中的规律.随堂演练1. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10…这样的数称为“三角形数”,而把1,4,9,16…这样的数称为“正方形数”.观察下面的点阵图和相应的等式,探究其中的规律.(1)下图反映了一个“三角形数”是如何得到的,认真观察,并在④后面的横线上写出相应的等式;····················①1=1;②1+2= ;③1+2+3= ;④1+2+3+4= .3610 (2)通过猜想,写出(1)中与第九个点阵相对应的等式: 。 (3)2015是“三角形数”吗?为什么?1+2+3+…+9=45 解:不是.“三角形数”都可以写成 的形式,令2015= , 解得n1=,n2= . 因为n是正整数,方程的两根均不符合条件,所以2015不是“三角形”数. (4)从下图中可以发现,任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和. 结合(1)观察下列点阵图,并在⑤后面的横线上写出相应的等式.·······················································①1=12; ②1+3=22;③3+6=32; ④6+10=42;⑤ .10+15=52 (5)通过猜想,写出(4)中与第n个点阵相对应的等式: . (6)判断225是不是“正方形数”,如果不是,说明理由;如果是,225可以看作哪两个相邻的“三角形数”之和?解:是. ∵152=225. ∴225是“正方形数”. 由(5), ,∴225可以看作105,120这两个相邻的“三角形数”之和. 2.如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面.请观察下列图形并解答有关问
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