3．1.1　方程的根与函数的零点.ppt

* 自主学习·基础知识 奇思妙想·一题多解 合作探究·重难疑点 课时作业 3．1.1　方程的根与函数的零点 [学习目标]　1.理解函数零点的概念以及函数零点与方程根的关系．(易混点)2.会求函数的零点．(重点)3.掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点) 一、函数的零点 1．定义 对于函数y＝f(x)，把使_________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与____有交点?函数y＝f(x)有______． f(x)＝0 x轴 零点 二、函数零点存在性定理 　如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_____________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有______，即存在c∈(a，b)，使得_________，这个c也就是方程f(x)＝0的根． f(a)·f(b)＜0 零点 f(c)＝0 三、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 图象 与x轴的交点 __________________ ______________ 无交点 零点的个数 ___ ___ ___ (x1，0) (x2，0) (x1，0) 2 1 0 1．判断：(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．(　　) (2)若方程f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，则函数y＝f(x)的零点为(x1，0)，(x2，0)．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)·f(b)＜0.(　　) 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 3．若函数f(x)在区间(2，5)上是减函数，且图象是一条连续不断的曲线，f(2)·f(5)＜0，则函数f(x)在区间(2，5)上零点的个数是________． 【解析】　由函数零点存在性定理和函数的单调性知，f(x)在区间(2，5)上有且只有一个零点． 【答案】　1 4．已知函数y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，若计算得f(1)＜0，f(2)＜0，f(3)＞0，则可以确定零点所在区间为________． 【解析】　∵y＝f(x)的定义域为R，图象连续不断，且f(2)·f(3)＜0，∴函数零点所在区间为(2，3)． 【答案】　(2，3) 预习完成后，请把你认为难以解决的问题记录在下面的表格中 问题1 问题2 问题3 问题4 求函数零点的方法 (1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根． (2)几何法：与函数y＝f(x)的图象相结合，即图象与x轴的交点的横坐标为函数的零点． 【解】　(1)令f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0. Δ＝49－4×12＝1＞0， ∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根， ∴函数f(x)有两个零点． 判断函数零点个数的主要方法 (1)利用方程根，转化为解方程，有几个根就有几个零点． (2)画出函数y＝f(x)的图象，判断它与x轴的交点个数，从而判断函数零点的个数．即转化成两个函数图象的交点问题． (3)结合单调性，利用f(a)·f(b)＜0，可判断y＝f(x)在(a，b)上零点的个数． 　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，a·c0，则函数的零点个数是(　　) A．1　　　B．2　　　C．0　　　D．无法确定 【解析】　∵Δ＝b2－4ac，a·c0，∴Δ0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根，故函数有两个零点． 【答案】　B 确定函数f(x)零点所在区间的常用方法 (1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看求得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． (1)(2014·怀化高一检测)函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，则实数a的取值范围是________． (2)函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是________． 【思路探究】　(1)由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，转化为y＝a－1与y＝2|x|－x2图象交点的个数问题． (2)此方程不一定是一元二次方程．可以分a＝0，a≠0且Δ＝0，a≠0且Δ＞0三种情况讨论． 【解析】　(1)由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点， 所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示 已知函数有零点