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初三数学讲义 太原市教研科研中心 石颐园 一、数与代数 回顾： 1.我们学习了哪些代数知识？重点是什么？ 2.常用的代数模型有哪些？解决了哪些问题？ 知识框架 数：有理数、实数 代数式：概念、运算、应用 数学模型：方程、函数、不等式 有理数知识结构 实数知识结构 方程部分结构 解方程的解题思想----转化 分式方程整式化 高次方程低次化 多元方程一元化 配方法 3.数与代数中，中考重点关注什么？ （1）对概念的考查 例1.2008年8月第29届奥运会将在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）表示在数轴上如下图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是 Ａ. 伦敦时间2008年8月8日11时 Ｂ. 悉尼时间2008年8月8日19时 Ｃ.纽约时间2008年8月8日5时 Ｄ. 巴黎时间2008年8月8日13时 1.实施代数运算的技能与能力的考查 例2.（1）先化简，再求值：其中a=-4. (2) (3)设ab0, 则的值 等于____. （4）解不等式组： 并把它的解集表示在下面的数轴上. （5）（云南2007）解方程： （6）（武汉2007） (本题6分)解方程： （7）（济南2007）解方程组： 3.代数式的表示功能 例3. （1）在数学学习过程中，通常是利用已有的知识与经验，通过对研究对象进行观察、实验、推理、抽象概括，发现数学规律，揭示研究对象的本质特征。 比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律，由“特殊”到“一般”进行抽象概括的： 22×23＝25，23×24＝27，22×26＝28，…2m×2n＝2m+n，…am×an＝am+n(m、n都是正整数)。 我们亦知：，，，，…。 ①请你根据上面的材料归纳出a、b、c(a＞b＞0，c＞0)之间的一个数学关系式； ②试用①中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖(仍不饱和)，则糖水更甜了”. 例4.数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”数学中，数和形是两个最主要的对象，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．数形结合的基本思想，就是在研究问题时，把数量关系转化为图形性质的问题，或把图形性质的问题转化为数量关系的问题，使抽象的问题具体化、简单化． （１）例如，求连续奇数的和：即求 1+3+5+7+…+2n-1的值（ｎ是正整数）， 可以用如图的方式来计算，即用“*”来排 列成的正方形可以分为n行n列，观察图 形可得： 1=1 1+3=4= 1+3+5=9= 1+3+5+7=16= 所以，1+3+5+7+…+2n-1= 　　　 .（用含ｎ的代数式表示） （２）请仿照上述数形结合的思想方法，设计有关图形，计算 2+4+6+8+…+2ｎ（ｎ为正整数）的值.（要求：画出图形，直接用代数式表示出结果即可） 3.代数式的推理功能 例6. 根据以下10个乘积，回答问题： 11×29 12×28 13×27 14×26 15×25 16×24 17×23 18×22 19×21 20×20 ①试将以上各乘积分别写成一个“ ”（两数平方差）的形式，并将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； ②若乘积的两个因数分别用字母a,b表示（a,b为正数），请观察给出ab与a+b的关系式,并要求证明. 例7.（2006太原）在学习扇形的面积公式时，同学们推得Ｓ扇形＝ ，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l ＝ ，得出扇形面积的另一种计算方法Ｓ 扇形＝ lR ． 接着老师让同学们解决两个问题： 问题Ⅰ.求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积. 问题Ⅱ.某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分， 已知AB和CD所在圆心都是点O，AB的长为l1， CD的长为l2，AC=BD=d，求花坛的面积. （1）请你解答问题Ⅰ； （2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇 形面积公式Ｓ扇形＝ lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花 坛的面积S =（l1 + l2）d.他的猜想正确 吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由 . 例9. 小明用作图象的方法解二元