2015年全国初中数学联赛(初二组)初赛试卷(四川版).doc

2015 年全国初中数学联赛（初二组）初赛试题 参考解答 一、选择题 1．D. 2．C. 3．A 延长 FD 至点 G，使得 DG=BE.显然△ABE≌△ADG. ∴ AE=AG. 易证 △ FAG ≌ △ FAE. ∴ FG=FE. ∴ △ ECF 的周长 =CF+FE+EC=CF+FG+EC=CF+FD+DG+EC=（CF+FD）+（BE+EC） =CD+BC=2.选 A. 4．B 当 z=0 ? y ? 0, ? y ? 1, ? y ? 2, ? y ? 3, ? y ? 4, 或 时， ? 或 ? 或 ? 或 ? 或 ? ?x ? 10, ?x ? 8, ?x ? 6, ?x ? 4, ?x ? 2, ? y ? 5, ? ?x ? 0; 当 z=1 ? y ? 0, ? y ? 1, ?y ? 2, 时， ? 或 ? 或 ? ?x ? 5, ?x ? 3, ?x ? 1; 当 z=2 ? y ? 0, 时， ? ?x ? 0. 共计 10 组自然数解.选 B. 5．D 作高 AD.显然 AD= 2 .在 Rt△ABD 中，BD= AB2 ? AD2 ? 2 .显然∠B≠90°.当∠B 为锐角时，如图（1），CD=BC-BD= 2 .∴AC= AD2 ? CD 2 ? 2 ；当∠B 为钝角时，如图（2）， CD=BC+BD= 32 ，∴AC= AD2 ? CD 2 ? 25 .综上 AC=2 或 25 .选 D. 6．C ∵32 除以 7 余 2，∴36 除以 7 与 23 除以 7 余数相同，为 1.而 32015=(36)335·35，∴32015  除以 7 与 35 除以 7 余数相同，为 5. ∴32015 天之后为星期三.选 C. 二、填空题 7． ?22 . 8．2014．x ? 2 2 2 0 1 5? 1?,x ? 1? 2 0 1?5x , ?1 ) ?( ?2x 0?125x,? 2014 . 9．8． 作 DE∥CA 交 BA 的延长线于点 E.由于 AC⊥BD，则 DE⊥BD,而四边形 CDEA 是平 行四边形，则 AC=DE,CD=AE.在 Rt△BDE 中，BD2+DE2=BE2=（AE+AB）2=（AB+CD）2，即 AC2+BD2=（AB+DC）2, ∴62+BD2=102. ∴BD=8. 10. 12. ? 3 x ? a ? 0, 即是 b ? x ? a . 因为原不等式组的整数解仅为 1 ， 2 ， 3, 所以 ? 4 x ? b ? 0 4 3 ? 3 ? a ? 4 , 0? b ? 即1, 9 ? a ?12, 0 ? b ? 4 .所以 a 可以取 9,10,11 共 3 个数， b 可以取 1,2,3,4 共 4 3 4 个数. 所以适合原不等式组的整数 a , b 组成的有序数对 (a , b) 的个数为 3 ?4 ?12 个. 三、解答题 11．解：∵a2+2ab+b2-6a-6b+9=0，……………………………………..………………… 5 分 (a+b)2-6(a+b)+9=0. ……………………………………………………… …10 分 (a+b-3)2=0. …………………………………………………………………..15 分 a+b-3=0………………. ……………………………………………………..20 分 a+b=3. ………………………………………………………………………..25 分 四、解答题 2016 12．解： 当 x 是方程的一个正数解时，有 2015x=ax+2016,得 x= 2015 ? a ,………..…..5 分 ∴a2015. ………………………………………………………………….… …10 分 当 x 是方程的一个负数解时，有-2015x=ax+2016,得 x= ? 2016 ，…..……15 分 a ? 2015 ∴a-2015. ………………………………………………………………….…..20 分 而原方程有一个正数解，但没有负数解，∴a2015 成立，但 a-2015 不成立. ∴a≤-2015. …………………………………………………