1.3.2杨辉三角与二项式系数的性质技巧.ppt

* 「算盤」是指用來計算的沙盤。《算盤書》（Liber Abaci）是一本研究算術和代數的書籍，這是對後幾個世紀歐洲數學發展起著重要作用的書籍，也是歐洲人傳播阿拉伯數字的最早論著。 一般地，对于n ∈ N*有 二项定理: 二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共有多少个？ 45 下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？ 计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表 n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5 6 1 6 15 20 15 6 1 1 5 10 10 5 1 1 4 6 4 1 1 3 3 1 1 2 1 1 1 对称性 《详解九章算法》中记载的表 杨 辉 杨辉三角 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 1）请看系数有没有明显的规律？ 2）上下两行有什么关系吗？ 3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗? ①每行两端都是1 Cn0= Cnn=1 ②从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 (a+b)1 (a+b)2 (a+b)3 (a+b)4 (a+b)5 (a+b)6 + + + + + + + + + + + + + + + 展开式的二项式系数依次是： 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： 当 时，其图象是右图中的7个孤立点． （1）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． 这一性质可直接由公式 得到． 图象的对称轴： （2）增减性与最大值 由于： 所以 相对于 的增减情况由 决定． 由： 可知，当 时， 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 因此，当n为偶数时，中间一项的二项式 系数 取得最大值； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数 、 相等，且同时取得最大值。 （2）增减性与最大值 （3）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于： 例： 证明：在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 在二项式定理中，令 ，则： 总结： 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 1 第5行 1 5 1 第6行 1 6 15 6 1 第n-1行 1 1 第n行 1 1 …… ……… … … … … …… … … 第7行 1 7 21 21 7 1 10 35 + + + + = 35 5 15 20 10 4 “斜线和” = * 「算盤」是指用來計算的沙盤。《算盤書》（Liber Abaci）是一本研究算術和代數的書籍，這是對後幾個世紀歐洲數學發展起著重要作用的書籍，也是歐洲人傳播阿拉伯數字的最早論著。