量子力学讲义五六章总结.doc

微扰理论 到现在为止，我们利用薛定谔方程求出了六大体系的本征值和本征函数 一维自由粒子体系： ， ， ， 一维无限深势阱 ， ， ， 一维线性谐振子体系： ，， ，， ， 平面刚性转子 ， ， ， ， 空间刚性转子 ， ， ， ， ， 氢原子与类氢原子 ， ， ， ，，，微扰论是从简单问题的精确解出发来求较复杂问题的近似解。一般分为两大类：一类是体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况，这叫含时微扰，可以用来解释有关跃迁的问题；另一类是体系的哈密顿算符不是时间的显函数，，这叫定态微扰，用来决定体系的定态能级和相应的波函数至所需要的精确度。 理论与无关 设，要求其本征值和本征函数 ,一般没有解析解，为解决这问题，我们将表示为 其中很接近，且有解析解。而是小量，为易于表其大小的量级，无妨令 , 设的本征值和本征函数为， 构成一正交，归一完备组。现求解 即 求，的步骤是通过逐级逼近来求精确解，即将，对展开。由于涉及的项较小，因此，应接近，接近。所以，可以从，出发求，。当，即，，,非简并微扰论就是处理的那一条能级是非简并的（或即使有简并，但相应的简并态并不影响处理的结果）。我们可将 求和号上的撇表示求和不包括态，即是与正交的。 其中为归一化常数，它随准确到那一级而定。代入上式得 于是有 1. 一级微扰近似 以标积 以（）标积 因此，在一级近似下 (归一化 准至一级) 所以，在这条能级为非简并时，其能量的一级修正恰等于微扰在无微扰状态的平均值。 2．二级微扰 当微扰较大时，或一级微扰为零时，则二级微扰就变得重要了，由项得 以进行标积得 以进行标积得 准至二级的能量和波函数 由 , 准至二级的归一化波函数为 显然，要使近似解逼近真实解，就要恰当选取，而且要求，这样取一级近似才可以满足精度要求。 由微扰的能量二级修正公式可以看出，对于基态，即。所以，二级微扰是负的，使能级下降。 例1：考虑一个粒子在位势 解: 准至一级修正的能量为 a．微扰论的应用限度：如准到一级，可以看出，完全是分立能级. 但事实上，当时，粒子是自由的，因此是连续的，可取任何值。而要其比较精确，必须 即 b．经典力学和量子力学的差别：经典粒子不能运动到之外区域，而量子力学中，粒子有一定几率在区域中。事实上，由于，由定理可证得 例2．已知一个在核（）库仑场中运动 ， 相应能量为 当原子核发生衰变后，该在的库仑场中运动，这时 的哈密顿量为 试用微扰论求衰变后原子的能级 解: ∵一级微扰论的能量修正 即 () 于是 事实上，这问题是可以精确求解的 近似解与精确解的差 由此可见： ①越大，微扰的精确性越大，到一级就很精确，所以低级近似就可以达到较精确的程度； ②应该指出，现在处理的问题中，能级实际上是简并的（简并度为）。但仍用了非简并微扰论来处理，这是因为微扰作用的矩阵元 也就是说，对于态，由于微扰的影响仅来自，而,的态根本不起作用，因而态（无论是否等于，只要,）这些态都形同虚设，那也是形同虚设。在这时，微扰可用非简并微扰处理。所以，所谓可用非简并微扰论处理的问题，是指我们要处理的态（现为）所在能级的其他态（现为，，）在微扰中的任何一级都不起作用，即（若，） 例3．求氦原子的哈密顿量 设：,, 解: 设 的基态为,即 于是 以方向为z方向 由 准至一级的能量 , 例：刚体转子的斯塔克效应（Stark effect） 将体系置于外电场中，能级发生移动的现象称为Stark effect。 解: 转子的角动量为，电偶极矩为，当置于均匀外电场中 （取电场方向为z） 显然 （有重简并）,由于 而