1-3 几何概率、公理化定义(修改).PPT

1.3 几何概型和概率的公理化定义 一、几何概率 定义1.4 二、概率的公理化定义与性质 三、小结 柯尔莫哥洛夫资料 蒲丰资料 一、几何概型 三、小结 二、概率的公理化定义 把有限个样本点推广到无限个样本点的场合,人们引入了几何概型. 由此形成了确定概率的另一方法 ——几何方法. 概率的古典定义具有可计算性的优点,但它也有明显的局限性.要求样本点有限,如果样本空间中的样本点有无限个, 概率的古典定义就不适用了. 例1。用计算机在[0,1]区间上任打出一个随机数，求这个数小于1/3的概率。 例2。随机的在单位圆（以原点为圆心）内掷一点M，求这点到原点距离小于1/2的概率。 例3。在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，求发现大肠杆菌的概率。 定义1.5 当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意一点落在度量 (长度, 面积, 体积) 相同的子区域是等可能的,则事件 A 的概率可定义为 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率. 几何概型的概率的性质 (1) 对任一事件A ,有 那末 两人会面的充要条件为 例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预 定地点会面. 先到的人等候另一个人, 经过时间 t ( tT ) 后离去.设每人在0 到T 这段时间内各时刻 到达该地是等可能的 , 且两人到达的时刻互不牵 连.求甲、乙两人能会面的概率. 会面问题 解 故所求的概率为 若以 x, y 表示平面 上点的坐标 , 则有 蒲丰投针试验 例2　1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( a )的针,试求 针与任一平行直线相交的概率. 解 蒲丰资料 蒲丰投针试验的应用及意义 历史上一些学者的计算结果(直线距离a=1) 3.1795 859 2520 0.5419 1925 Reina 3.1415929 1808 3408 0.83 1901 Lazzerini 3.1595 489 1030 0.75 1884 Fox 3.137 382 600 1.0 1860 De Morgan 3.1554 1218 3204 0.6 1855 Smith 3.1596 2532 5000 0.8 1850 Wolf 相交次数 投掷次数 针长 时间 试验者 利用蒙特卡罗(Monte-Carlo)法进行计算机模拟 1933年 , 苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义 ,使概率论有了迅速的发展. 贝特朗奇论 概率的可列可加性 1. 概率的定义1.7 证明 由概率的可列可加性得 2. 性质 概率的有限可加性 证明 由概率的可列可加性得 证明 证明 证明 由图可得 又由性质 3 得 因此得 推广 三个事件和的情况 n 个事件和的情况 解 ? A B AB 2. 最简单的随机现象 古典概型 古典概率 几何概型 试验结果 连续无穷 1. 频率 (波动) 概率(稳定). 3. 概率的主要性质 备用题： 1. 某城有N辆卡车，车牌号从1到N，有一个外地人到该城去，把遇到的n辆车子的车牌号抄下（可能重复抄到某些车牌），求抄到的最大号码正好为k的概率。 2. 从区间[0,1]中任取三个随机数，求三个数和不大于1的概率。 * *