2013.11.8 中值定理及洛必塔法则.ppt

第三章 第一节 罗尔（ Rolle ）中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 说明： 例1. 设 例2. 若 例3. 设 例4. 第二节 一、 证: 推论1. 例1. 求 例2. 求 二、 例3. 求 例4. 求 说明: 3) 若 三、其他未定式: 例6. 求 例7. 求 例8. 求 例9. 求 内容小结 思考与练习 3. 4. 求 备用题 则 解: 令 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 求下列极限 : 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 则 原式 = 解: (用洛必达法则) (继续用洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 中值定理 应用 研究函数性质及曲线性态 利用导数解决实际问题 罗尔中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 泰勒公式 (第三节) 推广 微分中值定理 与导数的应用 一、罗尔( Rolle )定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理 三、柯西(Cauchy)中值定理 中值定理 第三章 满足: (1) 在区间 [a , b] 上连续 (2) 在区间 (a , b) 内可导 (3) f ( a ) = f ( b ) 使 在( a , b ) 内至少存在一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 在区间 [ a , b ] 上连续 满足: (2) 在区间 ( a , b ) 内可导 至少存在一点 使 拉氏 目录 上页 下页 返回 结束 及 (1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续 (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导 (3)在开区间 ( a , b ) 内 至少存在一点 使 满足 : 柯西 目录 上页 下页 返回 结束 1. 微分中值定理的条件、结论及关系 罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 2. 微分中值定理的应用 (1) 证明恒等式 (2) 证明不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 关键: 利用逆向思维 设辅助函数 费马引理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且在 内可导, 证明至少存 在一点 使 提示: 由结论可知, 只需证 即 验证 在 上满足罗尔定理条件. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可导, 试证在其两个零点间一定有 的零点. 提示: 设 欲证: 使 只要证 亦即 作辅助函数 验证 在 上满足 罗尔定理条件. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 至少存在一点 使 证: 结论可变形为 设 则 在 [0, 1] 上满足柯西中值 定理条件, 因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点 ? , 使 即 证明 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 证明对任意 有 证： 不妨设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、其他未定式 二、 型未定式 一、 型未定式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 洛必达法则 第三章 微分中值定理 函数的性态 导数的性态 函数之商的极限 导数之商的极限 转化 ( 或 型) 本节研究: 洛必达法则 洛必达 目录 上页 下页 返回 结束 存在 (或为 ) 定理 1. 型未定式 (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( ? 在 x , a 之间) 无妨假设 在指出的邻域内任取 则 在以 x, a 为端点的区间上满足柯 故 定理条件: 西定理条件, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 存在 (或为 ) 定理 1 中 换为 之一, 推论 2. 若 理1条件, 则 条件 2) 作相应的修改 , 定理 1 仍然成立. 洛必达法则 定理1 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 注意: 不是未定式不能用洛必达法则 ! 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 思考: 如何求 ( n 为正整数) ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 型未定式 存在 (或为∞) 定理 2. (洛必达法则) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 定理中 换为 之一, 条件 2) 作相应的修改 , 定理仍然成立. 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 解: 原式 例4. 求 解: (1) n 为正整数的情形. 原式 机动