2013.11.12-单调性.极值.ppt

第三节 泰勒中值定理 : 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 在泰勒公式中若取 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用 例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过 2. 利用泰勒公式求极限 3. 利用泰勒公式证明不等式 泰勒多项式逼近 泰勒多项式逼近 第四节 一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 二、函数的极值及其求法 注意: 定理 1 (极值第一判别法) 例1. 求函数 定理2 (极值第二判别法) 例2. 求函数 定理3 (判别法的推广) 例如 , 例2中 三、最大值与最小值问题 特别: 例3. 求函数 例3. 求函数 例4. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20 例5. 把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 , 例6. 一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边高于 内容小结 2. 连续函数的最值 2. 设 3. 设 所以 不是极值点 . 极值的判别法( 定理1 ~ 定理3 ) 都是充分的. 说明: 当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 . 例如: 为极大值 , 但不满足定理1 ~ 定理3 的条件. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则其最值只能 在极值点或端点处达到 . 求函数最值的方法: (1) 求 在 内的极值可疑点 (2) 最大值 最小值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当 在 内只有一个极值可疑点时, 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到. 若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小) 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的 可疑点是否为最大 值点或最小值点 . (小) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在闭区间 上的最大值和最小值 . 解: 显然 且 故函数在 取最小值 0 ; 在 及 取最大值 5. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此也可通过 说明: 求最值点. 与 最值点相同 , 由于 令 ( 自己练习 ) 在闭区间 上的最大值和最小值 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( k 为某一常数 ) AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为使货 D 点应如何选取? 20 解: 设 则 令 得 又 所以 为唯一的 极小点 , 故 AD =15 km 时运费最省 . 总运费 物从B 运到工厂C 的运费最省, 从而为最小点 , 问 Km , 公路, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 问矩形截面 的高 h 和 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 解: 由力学分析知矩形梁的抗弯截面模量为 令 得 从而有 即 由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个, 故所求 结果就是最好的选择 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 清楚(视角? 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m , 解: 设观察者与墙的距离为 x m , 则 令 得驻点 根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 , 唯一, 驻点又 因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 . 问观察者在距墙多远处看图才最 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 连续函数的极值 (1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点 (2) 第一充分条件 过 由正变负 为极大值 过 由负变正 为极小值 (3) 第二充分条件 为极大值 为极小值 (4) 判别法的推广 ( Th.3) 定理3 目录 上页 下页 返回 结束 最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 . 思考与练习 (L. P500 题4) 1. 设 则在点 a 处( ). 的导数存在 , 取得极大值 ; 取得极小值; 的导数不存在. B 提示: 利用极限的保号性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 的某邻域内连续, 且 则在点 处 (A) 不可导 ; (B) 可导, 且 (C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . D 提示: 利用极限的保号性 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 二、几个初等函数的麦克劳林公式 一、泰勒公式的建立 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、泰勒公式的应用 — 应用 用多项式近似表示