2013.11.19-习题课.ppt

习题课 一、 微分中值定理及其应用 2. 微分中值定理的主要应用 3、未定式: 说明 二、 导数应用 例1. 填空题 (2) 设函数 例2. 证明 例3. 设 例4. 求数列 例5. 证明 例6. 设 例7. 求 解法2 利用罗必塔法则 * 二、 导数应用 一、 微分中值定理及其应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 中值定理及导数的应用 第三章 拉格朗日中值定理 1. 微分中值定理及其相互关系 罗尔定理 柯西中值定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式 (3) 证明有关中值问题的结论 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 利用洛必达法则求极限 解决方法: 通分 转化 取倒数 转化 取对数 转化 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用洛必达法则求极限，注意 两种基本形式的解题方法要熟悉 (2) 其它类型的未定式转化为基本形式的方法要明确 (3) 要结合以前学过的各种方法，灵活解题. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 曲率 2. 解决最值问题 目标函数的建立与简化 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 相关变化率; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的连续性及导函数 (1) 设函数 其导数图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 单调减区间为 ; 极小值点为 ; 极大值点为 . 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 单调增区间为 ; . 在区间 上是凸弧 ; 拐点为 提示: 的正负作 f (x) 的示意图. 形在区间 上是凹弧; 则函数 f (x) 的图 的图形如图所示, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在 上单调增加. 证: 令 在 [ x , x +1 ]上利用拉氏中值定理, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故当 x 0 时, 从而 在 上单调增. 得 在 上可导, 且 证明 f ( x ) 至多只有一个零点 . 证: 设 则 故 在 上连续单调递增, 从而至多只有 一个零点 . 又因 因此 也至多只有一个零点 . 思考: 若题中 改为 其它不变时, 如何设辅助函数? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的最大项 . 证: 设 用对数求导法得 令 得 因为 在 只有唯一的极大点 因此在 处 也取最大值 . 又因 中的最大项 . 极大值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 列表判别: 证: 设 , 则 故 时, 单调增加 , 从而 即 机动 目录 上页 下页 返回 结束 且在 上 存在 , 且单调 递减 , 证明对一切 有 证: 设 则 所以当 令 得 即所证不等式成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法1 利用中值定理求极限 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *