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中考数学专题探究 第九讲 操作性问题 主 讲 潘 诚 单 位 苏州立达学校 九、操作性问题 数学学习的一个重要途径是在观察和动手操作基础上运 用恰当的猜想与推理探求问题实质，并从中发现和认知规律。 近年来操作性问题在全国各地的中考中频繁出现也在于此。 其问题的特征：根据问题的条件从简单（或特殊）到一 般的情形进行操作实验，通过画、割、拼及量等实验活动， 运用平移、旋转和翻折等数学变换，寻求合理的解决方案， 以达到解决具体的问题。 操作性问题既考查学生观察、动手实践能力，同时也检测了学生的分析、归纳和猜想能力，它符合新课程标准的要求，是中考命题的一个方向。 典型例题导析 例1 ⑴ (广东梅州)如图，将一副直角三角板叠在一起，使直角顶点重合于O点，则 ∠AOB+∠DOC＝ 度。 解：∵∠AOB＝∠AOD+∠COD＋∠BOC ∴∠AOB+∠COD=(∠AOD+∠COD)+(∠BOC+∠COD) ＝90°＋90° ＝180° ⑵(湖南湘潭)如图，将一副三角板摆放成如图所示， 图中 ∠1＝ 度。 解：∠1＝180°－60°＝120° ⑶（河南）如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到 的位置。若BC的长为15cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为 （ ） A. 10 cm B. 10 cm C. 15 cm D.20 cm 解：∵∠A＝30°，BC＝15 ∴∠ACB=60° ， AC=30 ∴ ∴ 选（D） ⑷（湖北荆门）将一副三角尺如图摆放在一起，连结AD，试求 ∠ADB的余切值. 解：过点A作DB延长线的垂线AE，垂足为E. 在等腰Rt△BDC中，∠1=45°，设BD=DC=k，则BC＝ k 在Rt△ABC中，∠4＝30°， 则AB＝BC·tan30°＝ k· 在Rt△AEB中，∠2＝180°－(∠1＋∠3)＝180°－（90°＋45°）＝45° 则EB=EA=AB·sin45°＝ 在Rt△DEA，DE=BD+EB= 则cot∠ADB ⑸（上海）将两块三角板如图放置， 其中 ∠C＝ ∠ EDB=90° ，∠A＝45°，∠E＝30°，AB=DE=6,求重叠部分四边形DBCF的面积。 解：∵∠A＝45°，AB=6, ∴AC=BC=ABsin45°＝6· S△ABC ＝ ·AC·BC＝9. 在Rt△EDB中，∵∠E=30°，DE＝6， ∴DB=DE·tan30°＝6· ＝2 ∴AD=AB－DB=6－ ∵∠EDB=90°，∠A＝45° ∴△ADF是等腰直角三角形. ∴AD=DF＝6－2 ， ∴S△ADF= ·AD·DF ＝ ·（6－ ）·（6－ ） ＝24－12 ∴S四边形DBCF=S△ABC－S△ADF=9－（24－12 ） ＝12 例2. （济宁课改）直角三角形通过剪切可以拼成一个与该直角三角形面积相等的矩形．方法如下： 请你用上面图示的方法，解答下列问题： （1）对任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的矩形． （2）对任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原四边形面积相等的矩形． 解答： （1）如图所示： （2）如图所示： 例3.（浙江嘉兴课改)现有一张矩形纸片ABCD （如图），其中AB=4cm，BC=6cm,点E是BC的中点．实施操作：将纸片沿直线AE折叠，使点B落在梯形AECD内，记为点 ． （1）请用尺规，在图中作出 （保留作图痕迹）； （2）试求 两点之间的距离． 解：（1）可以从 关于AE对称来作，也可以从 △ABE≌△ 来作； （2）B, 关于AE对称，∴B ?AE，设垂足为F， 　　 ∵AB=4, BC=6，E是BC的中点，　　 ∴BE=3,AE=5,BF= ．∴B = ．